Chute libre, projectiles et frottements de l'air

Un ballon frappé par un gardien, une mangue qui tombe, un parachutiste, une goutte de pluie : tous ces mouvements ont un point commun, le poids. Dans cette leçon, tu vas d'abord étudier la chute libre, c'est-à-dire un mouvement où le poids est la seule force. Tu en tireras la trajectoire d'un projectile et les formules de la portée et de la hauteur atteinte. Ensuite, tu ajouteras la résistance de l'air, et tu comprendras pourquoi une goutte de pluie ne nous frappe pas à des centaines de kilomètres par heure. C'est la notion de vitesse limite.

On parle de chute libre quand le poids est la seule force qui agit. Le principe fondamental donne m a égale m g, et la masse se simplifie : l'accélération vaut g, vers le bas, quelle que soit la masse. Un caillou et une bille d'acier lâchés ensemble touchent le sol en même temps. Pourquoi alors une feuille de papier tombe-t-elle plus lentement ? Parce qu'elle subit une résistance de l'air importante par rapport à son poids. Froisse-la en boule, et elle tombe presque comme le caillou. La chute libre est donc un modèle, très bon pour des objets denses et des vitesses modérées.

Lançons un objet avec une vitesse v zéro, qui fait un angle alpha avec l'horizontale. On prend un axe x horizontal et un axe y vertical vers le haut. L'accélération vaut zéro sur x et moins g sur y. On intègre deux fois en tenant compte de la vitesse initiale. Sur x, la vitesse reste égale à v zéro cosinus alpha, et x augmente proportionnellement au temps. Sur y, on retrouve un mouvement uniformément varié : v zéro sinus alpha fois t, moins g t carré sur deux. Les deux mouvements sont indépendants : la pesanteur ne freine pas le déplacement horizontal.

Pour obtenir la forme de la trajectoire, on élimine le temps. De l'équation sur x, on tire t égale x divisé par v zéro cosinus alpha. On remplace dans l'équation sur y. On trouve y égale x tangente alpha, moins g x carré divisé par deux v zéro carré cosinus carré alpha. C'est l'équation d'une parabole tournée vers le bas. Le sommet de la trajectoire correspond à l'instant où la vitesse verticale s'annule : à ce moment, l'objet ne monte plus et ne descend pas encore. Sa vitesse n'est pas nulle pour autant, puisque la composante horizontale continue.

Deux résultats sont très utiles. La portée, distance horizontale parcourue pour revenir à la hauteur de départ, vaut v zéro carré fois sinus de deux alpha, divisé par g. La hauteur maximale vaut v zéro carré sinus carré alpha, divisé par deux g. Prenons un gardien de but à Kinshasa qui dégage le ballon à vingt mètres par seconde avec un angle de trente degrés. Sans air, la portée serait d'environ trente-cinq mètres et le ballon monterait à environ cinq mètres. Comme sinus de deux alpha est maximal pour quarante-cinq degrés, c'est l'angle qui donne la plus grande portée, toujours sans tenir compte de l'air.

Dans la réalité, l'air freine les objets. Cette force de frottement fluide est toujours opposée à la vitesse. Pour un objet petit et lent, comme une poussière ou une bille dans l'huile, elle est à peu près proportionnelle à la vitesse : f égale k v. Pour un ballon, un cycliste ou une voiture, elle croît plutôt comme le carré de la vitesse. On l'écrit alors un demi rho C x S v carré, où rho est la masse volumique de l'air, S la surface que l'objet présente au vent, et C x un coefficient qui dépend de sa forme. Doubler la vitesse multiplie donc ce frottement par quatre.

Lâche un objet dans l'air. Au début, il va lentement et le frottement est faible : il accélère presque comme en chute libre. Plus il va vite, plus le frottement grandit, jusqu'au moment où il égale le poids. L'accélération devient alors nulle et la vitesse cesse d'augmenter : c'est la vitesse limite. Avec un frottement en k v, elle vaut m g sur k, et la vitesse s'en approche de façon exponentielle, avec un temps caractéristique m sur k. Une goutte de pluie, elle, relève plutôt du frottement en v carré, qu'on calcule pas à pas dans un tableur : c'est ce qui limite une grosse goutte à moins d'une dizaine de mètres par seconde.

Au bout de ce module, tu sais faire un bilan des forces, appliquer les trois lois de Newton avec une méthode sûre et vérifier tes résultats. En chute libre, l'accélération vaut g quelle que soit la masse, et un projectile suit une parabole. Sa portée est maximale à quarante-cinq degrés, tant qu'on néglige l'air. Avec la résistance de l'air, la vitesse finit par se stabiliser à une vitesse limite. Dans le lab, tu vas mesurer un coefficient de frottement avec un simple livre incliné. Ensuite, la simulation te demandera d'expliquer pourquoi un camion est sorti d'un virage mouillé.