Coordonnées polaires et cylindriques

Quand un point tourne autour d'un centre, les coordonnées cartésiennes deviennent vite pénibles : des sinus et des cosinus partout. Pour un manège, une roue, un taxi dans un rond-point ou une planète autour du Soleil, il existe un outil bien plus naturel : les coordonnées polaires. Dans cette leçon, tu vas apprendre à les utiliser pour calculer la vitesse et l'accélération. Tu verras aussi le cas très important du mouvement circulaire, puis les coordonnées cylindriques, qui ajoutent simplement une hauteur. Ces outils te serviront à nouveau dans le module 5, pour les orbites.

En coordonnées polaires, tu repères le point M par deux nombres. Le premier, r, est sa distance au centre O. Le second, thêta, est l'angle entre un axe de référence et la droite qui va de O à M. Pense à un radar de port qui balaie l'horizon : il donne la distance d'un bateau et l'angle sous lequel il le voit. Le lien avec les cartésiennes est simple : x égale r cosinus thêta et y égale r sinus thêta. Pour un enfant assis sur un manège, r reste constant et seul thêta change. Tout le mouvement tient alors dans une seule fonction du temps.

Voici la grande différence avec les cartésiennes. On utilise deux vecteurs unitaires attachés au point : u r, qui pointe du centre vers le point, et u thêta, perpendiculaire à u r, dans le sens où l'angle augmente. Quand le point tourne, ces deux vecteurs tournent avec lui. Leurs directions changent, donc leurs dérivées ne sont pas nulles. La dérivée de u r vaut thêta point fois u thêta, et la dérivée de u thêta vaut moins thêta point fois u r. Thêta point, c'est la vitesse angulaire, en radians par seconde. Ces deux relations sont la clé de toute la leçon.

Le vecteur position s'écrit simplement r fois u r. On dérive ce produit : la dérivée de r donne r point u r, et la dérivée de u r donne r thêta point u thêta. La vitesse a donc deux composantes. La composante radiale, r point, dit si le point s'éloigne ou se rapproche du centre. La composante orthoradiale, r thêta point, vient de la rotation. Prenons un manège de quatre mètres de rayon qui fait un tour en huit secondes. La vitesse angulaire vaut deux pi sur huit, environ zéro virgule soixante-dix-neuf radian par seconde. Un enfant au bord avance donc à environ trois virgule un mètres par seconde.

En dérivant une seconde fois, avec les mêmes règles, tu obtiens l'accélération. Sa composante radiale vaut r point point moins r thêta point au carré. Sa composante orthoradiale vaut deux r point thêta point, plus r thêta point point. Ne cherche pas à apprendre ces formules par cœur sans comprendre : refais la dérivation une ou deux fois, elle prend cinq lignes. Le terme moins r thêta point au carré est très important. Il est toujours dirigé vers le centre. C'est lui qui oblige un objet en rotation à courber sa trajectoire au lieu de partir tout droit.

Pour un mouvement circulaire, le rayon est constant, donc ses dérivées sont nulles. Si la vitesse angulaire est aussi constante, il ne reste qu'une accélération dirigée vers le centre, de valeur R oméga au carré, ou v au carré sur R. On l'appelle accélération centripète. Un taxi qui tourne à Casablanca dans un rond-point de vingt mètres de rayon, à cinq mètres par seconde, a une accélération de un virgule vingt-cinq mètre par seconde au carré, même si son compteur ne bouge pas. Si le taxi accélère dans le rond-point, s'ajoute une composante tangentielle, R fois thêta point point.

Les coordonnées cylindriques, ce sont les polaires plus une hauteur. On ajoute la coordonnée z, mesurée le long d'un axe vertical, avec son vecteur unitaire u z, qui lui ne tourne pas. La vitesse reçoit donc une troisième composante, z point, et l'accélération une composante z point point. C'est l'outil idéal pour un mouvement en hélice. Pense à une enfant qui descend un toboggan en spirale dans un parc aquatique à Montréal. Elle tourne autour de l'axe central à distance à peu près constante, et elle descend en même temps. En cylindriques, sa position tient en trois fonctions simples.

Les coordonnées polaires repèrent un point par une distance et un angle, avec une base qui tourne avec lui. C'est pour cela que la vitesse et l'accélération contiennent des termes supplémentaires par rapport aux cartésiennes. Dans un mouvement circulaire uniforme, l'accélération n'est pas nulle : elle vaut v au carré sur R et pointe vers le centre. Les cylindriques ajoutent une hauteur pour traiter les hélices. La leçon suivante te fait quitter le papier : tu vas filmer un vrai mouvement avec ton téléphone et l'analyser image par image avec le logiciel Tracker.