Une méthode pour résoudre un problème de dynamique

Connaître les lois de Newton ne suffit pas : il faut savoir s'en servir sans se perdre. Beaucoup d'erreurs viennent d'un manque de méthode, pas d'un manque de connaissances. Dans cette leçon, tu vas apprendre une démarche en six étapes que tu pourras appliquer à presque tous les problèmes de ce parcours. On la testera sur deux situations concrètes : une caisse qui glisse sur une rampe de chargement, puis une personne qui monte dans un ascenseur. À la fin, tu sauras aussi vérifier toi-même ton résultat, même quand tu n'as pas de corrigé sous la main.

Voici la méthode. Un : tu définis le système, l'objet dont tu étudies le mouvement. Deux : tu choisis un référentiel galiléen, le plus souvent le sol. Trois : tu fais le bilan des forces et tu les dessines. Quatre : tu écris le principe fondamental de la dynamique sous forme vectorielle. Cinq : tu choisis des axes et tu projettes cette égalité, ce qui donne une équation par axe. Six : tu résous ces équations, puis tu vérifies le résultat. Le travail le plus important se fait aux étapes trois et cinq. Un bilan incomplet ou des axes mal choisis, et tout le reste devient faux ou très compliqué.

Sur un quai du port d'Abidjan, des dockers font glisser une caisse de quarante kilos le long d'une rampe inclinée de vingt degrés. Le coefficient de frottement de glissement entre la caisse et la rampe vaut zéro virgule trente. On veut connaître l'accélération de la caisse. Le système, c'est la caisse. Le référentiel, c'est le quai, considéré comme galiléen. Le bilan comporte trois forces : le poids, vertical vers le bas, la réaction normale, perpendiculaire à la rampe, et le frottement, parallèle à la rampe et dirigé vers le haut, puisque la caisse glisse vers le bas. Dessine ces trois forces avant de continuer.

Ici, le bon choix d'axes est évident quand on y pense : un axe x le long de la pente, dirigé vers le bas, et un axe y perpendiculaire à la pente. Avec ce choix, la réaction normale et le frottement sont chacun sur un seul axe, et seul le poids doit être décomposé. Sur l'axe x, on obtient : m a égale m g sinus alpha moins T. Sur l'axe y, la caisse ne décolle pas de la rampe, donc son accélération selon y est nulle, et on obtient : zéro égale N moins m g cosinus alpha. Si tu avais pris des axes horizontal et vertical, toutes les forces auraient dû être décomposées.

L'équation sur y donne directement la réaction normale : N égale m g cosinus alpha. Comme la caisse glisse, la loi de Coulomb dit que le frottement vaut mu fois N. On remplace dans l'équation sur x, et la masse se simplifie : a égale g fois sinus alpha moins mu cosinus alpha. Avec vingt degrés et zéro virgule trente, le sinus vaut environ zéro virgule trois cent quarante-deux et mu cosinus alpha environ zéro virgule deux cent quatre-vingt-deux. L'accélération vaut donc environ zéro virgule cinquante-neuf mètre par seconde au carré. La caisse glisse, mais lentement : le frottement compense presque l'effet de la pente.

Comment savoir si ton résultat est juste ? D'abord, vérifie les unités : g est en mètres par seconde au carré et les sinus n'ont pas d'unité, donc a a bien la bonne unité. Ensuite, teste des cas limites. Sans frottement, la formule donne g sinus alpha, le résultat connu du plan incliné lisse. Avec une pente verticale, sinus vaut un et cosinus zéro, et on retrouve la chute libre. Enfin, si la formule donne une accélération négative, c'est que tangente alpha est plus petite que mu : la caisse ne peut pas démarrer seule, et c'est le frottement statique qu'il faut alors utiliser. Ces tests prennent une minute et évitent beaucoup d'erreurs.

Youssef, soixante-dix kilos, monte dans un ascenseur d'une tour de Casablanca, debout sur un pèse-personne. L'ascenseur démarre vers le haut avec une accélération d'un mètre par seconde au carré. Le système, c'est Youssef. Les forces : son poids vers le bas et la réaction de la balance vers le haut. On projette sur un axe vertical vers le haut : N moins m g égale m a. Donc N égale m fois g plus a, environ sept cent cinquante-sept newtons. La balance mesure cette force et la convertit en kilos : elle affiche environ soixante-dix-sept. La masse de Youssef n'a pas changé, mais la force que le support doit exercer, si.

Retiens la méthode : système, référentiel, bilan, loi vectorielle, projection, résolution. Choisis tes axes pour que le plus de forces possible tombent sur un seul axe. Observe quand la masse disparaît du résultat, comme pour la caisse sur la rampe : cela veut dire que toutes les forces sont proportionnelles à la masse. Et vérifie toujours avec les unités et des cas limites connus. Dans la prochaine leçon, tu vas utiliser cette méthode pour un ballon qui vole dans les airs, d'abord sans frottement, puis avec la résistance de l'air.