Vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes

Dans la leçon précédente, tu as appris à repérer un point. Maintenant, on va décrire comment sa position change. Deux grandeurs vont t'accompagner pendant tout le parcours : la vitesse, qui dit à quel rythme la position change, et l'accélération, qui dit à quel rythme la vitesse change. On travaille ici en coordonnées cartésiennes, avec des axes fixes. C'est le cadre le plus simple, celui que tu utiliseras pour un freinage, une chute ou un lancer. À la fin, tu sauras calculer la distance de freinage d'un minibus.

En coordonnées cartésiennes, la position du point M s'écrit avec trois nombres, x, y et z, chacun multiplié par un vecteur unitaire : u x, u y et u z. Ces trois vecteurs ont une longueur de un et des directions fixes, qui ne changent jamais au cours du temps. Toute l'information du mouvement est donc contenue dans trois fonctions du temps : x de t, y de t et z de t. Si tu connais ces trois fonctions, tu connais tout : la trajectoire, la vitesse, l'accélération. C'est exactement ce que va te fournir le pointage vidéo dans la leçon 1.4.

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Comme les vecteurs de base sont fixes, la dérivation est très simple : tu dérives chaque coordonnée. La composante v x est la dérivée de x, la composante v y est la dérivée de y, et ainsi de suite. La valeur de la vitesse, sa norme, est la racine carrée de la somme des carrés des composantes. Un point important : le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire. Si tu fais tourner une fronde et que tu lâches la pierre, elle part dans la direction de la tangente, pas vers l'extérieur du cercle.

Fais bien la différence entre vitesse moyenne et vitesse instantanée. Si Mamadou met trois heures pour un trajet de cent trente-cinq kilomètres, sa vitesse moyenne est de quarante-cinq kilomètres par heure. Mais à certains moments il était arrêté dans un embouteillage, et à d'autres il roulait bien plus vite. La vitesse instantanée, celle qu'affiche le compteur, correspond à un intervalle de temps si court qu'il tend vers zéro. C'est exactement la définition de la dérivée. Un radar mesure une vitesse quasi instantanée, et c'est pour cela qu'il peut te prendre en excès même si ta moyenne est raisonnable.

L'accélération est la dérivée de la vitesse, donc la dérivée seconde de la position. Elle s'exprime en mètres par seconde au carré. Attention à un piège de langage. Dans la vie courante, accélérer veut dire aller plus vite. En physique, l'accélération est un vecteur qui décrit tout changement de vitesse : augmentation, diminution, ou simple changement de direction. Un taxi qui freine a une accélération dirigée vers l'arrière. Un taxi qui prend un rond-point à vitesse constante a aussi une accélération, dirigée vers le centre du rond-point. Tu retrouveras ce cas dans la leçon suivante.

Prenons un minibus qui roule à cinquante-quatre kilomètres par heure, soit quinze mètres par seconde. Le chauffeur freine et s'arrête en cinq secondes. Si on suppose l'accélération constante, elle vaut la variation de vitesse divisée par la durée : zéro moins quinze, divisé par cinq, soit moins trois mètres par seconde au carré. Le signe moins dit que l'accélération est opposée au mouvement. En intégrant, on obtient la position : quinze t moins un virgule cinq t au carré. À t égale cinq secondes, on trouve trente-sept virgule cinq mètres. C'est la distance parcourue pendant le freinage, sans compter le temps de réaction du chauffeur.

Pour tout mouvement rectiligne à accélération constante, deux formules suffisent : la vitesse augmente ou diminue linéairement, et la position suit une parabole en fonction du temps. Il existe aussi une relation très pratique qui ne fait pas intervenir le temps : la différence des carrés des vitesses égale deux fois l'accélération fois la distance. Vérifie-la sur notre minibus : zéro moins quinze au carré donne moins deux cent vingt-cinq, et deux fois moins trois fois trente-sept virgule cinq donne aussi moins deux cent vingt-cinq. Retiens que ces formules ne valent que si l'accélération est constante. Sinon, il faut revenir à la dérivée.

En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base sont fixes, donc on obtient la vitesse et l'accélération en dérivant simplement chaque coordonnée. Ne confonds pas vitesse moyenne et vitesse instantanée. L'accélération décrit tout changement de vitesse, y compris un changement de direction. Enfin, les formules du mouvement uniformément varié sont pratiques, mais réservées au cas où l'accélération est constante. Dans la prochaine leçon, tu vas étudier des mouvements qui tournent : un manège, une roue, un satellite. Pour eux, les coordonnées polaires sont beaucoup mieux adaptées.