Arbres et probabilités totales

Beaucoup de situations se décrivent en deux temps : d'abord une cause, ensuite une conséquence. Un sac vient d'une ligne de production, puis il est conforme ou non. Un client vient d'une région, puis il rembourse son crédit ou non. L'arbre pondéré est l'outil qui organise ces deux temps. Ici, tu apprends à le construire et à le lire, puis à calculer la probabilité d'une conséquence en tenant compte de toutes les causes possibles. C'est la formule des probabilités totales, et elle prépare directement la formule de Bayes.

Un arbre pondéré part d'un point de départ. Les premières branches représentent les causes possibles, avec leur probabilité. De chaque cause partent de nouvelles branches pour les conséquences, et sur ces branches, on écrit des probabilités conditionnelles : la probabilité de la conséquence sachant la cause. Une règle de contrôle à vérifier toujours : les branches qui partent d'un même point ont une somme égale à un. Sinon, ton arbre est faux. Pour obtenir la probabilité d'un chemin complet, tu multiplies les probabilités le long des branches : c'est la formule des probabilités composées.

Prends une usine d'ensachage à Casablanca, avec des chiffres d'exemple. Trois lignes fonctionnent en parallèle. La ligne un produit la moitié des sacs, avec un pour cent de sacs défectueux. La ligne deux produit trente pour cent des sacs, avec deux pour cent de défauts. La ligne trois, plus ancienne, produit vingt pour cent des sacs, avec cinq pour cent de défauts. Dans l'arbre, le premier niveau porte 0,5, 0,3 et 0,2. Le second niveau porte, pour chaque ligne, la probabilité d'un défaut et celle d'un sac conforme. Vérifie que chaque groupe de branches fait bien un.

Les trois lignes forment ce qu'on appelle une partition de l'univers, ou système complet d'événements. Deux conditions sont nécessaires. Les événements sont deux à deux incompatibles : un sac ne peut pas venir de deux lignes à la fois. Et leur réunion est l'univers : chaque sac vient forcément d'une des trois lignes. Autrement dit, chaque issue tombe dans un et un seul de ces événements. Un événement et son contraire forment la partition la plus simple. Sans partition, le calcul que tu vas voir oublierait des cas ou en compterait deux fois.

Pour obtenir la probabilité qu'un sac pris au hasard soit défectueux, tu additionnes tous les chemins de l'arbre qui mènent à un défaut. Chaque chemin vaut la probabilité de la ligne multipliée par le taux de défaut de cette ligne. Cela donne 0,5 fois 0,01, plus 0,3 fois 0,02, plus 0,2 fois 0,05. Soit 0,005 plus 0,006 plus 0,010, ce qui fait 0,021. Environ deux sacs sur cent sortent défectueux de l'usine. C'est la formule des probabilités totales : une moyenne des taux de défaut, pondérée par la part de chaque ligne dans la production.

Il existe une façon de faire le même calcul que presque tout le monde comprend sans formule. Imagine dix mille sacs. Cinq mille viennent de la ligne un, dont un pour cent de défauts : cinquante sacs. Trois mille viennent de la ligne deux, avec deux pour cent : soixante sacs. Deux mille viennent de la ligne trois, avec cinq pour cent : cent sacs. Au total, deux cent dix sacs défectueux sur dix mille, soit 2,1 %. Cette présentation en effectifs, qu'on appelle fréquences naturelles, est précieuse quand tu dois expliquer un résultat à un responsable qui n'aime pas les formules.

Un arbre se construit toujours de la même façon : les causes au premier niveau, les conséquences au second, avec des probabilités conditionnelles. Contrôle toujours que les branches d'un même point font un. Pour calculer la probabilité d'une conséquence, additionne tous les chemins qui y mènent : c'est la formule des probabilités totales, valable quand les causes forment une partition. Et pour expliquer ton calcul, pense aux fréquences naturelles, avec dix mille cas imaginaires. Dans la prochaine leçon, tu vas remonter l'arbre à l'envers : un sac est défectueux, de quelle ligne vient-il le plus probablement ?