Expérience aléatoire, univers et événements

Bienvenue dans ce parcours de probabilités. Avant de calculer quoi que ce soit, il faut savoir décrire le hasard avec précision. C'est le travail de modélisation, et c'est souvent là que se cachent les erreurs. Dans cette leçon, tu vas apprendre à reconnaître une expérience aléatoire, à choisir l'ensemble de tous les résultats possibles, qu'on appelle l'univers, et à écrire les événements qui t'intéressent avec le langage des ensembles. Ces outils paraissent simples, mais ils servent dans tout le reste du cours, des lancers de dé jusqu'au théorème central limite.

Une expérience est dite aléatoire quand tu connais la liste des résultats possibles, mais pas celui qui va se produire. Lancer un dé en est l'exemple classique. Pense aussi à un agent de transfert d'argent à Lomé qui compte ses clients entre neuf heures et dix heures : il sait que ce sera un nombre entier, sans savoir lequel. Ou au poids d'un sac de ciment à la sortie d'une ensacheuse : il tourne autour de cinquante kilos, sans être deux fois le même. Dans chaque cas, on peut imaginer répéter l'expérience dans les mêmes conditions. C'est cette répétition qui donne un sens aux probabilités.

On note oméga l'ensemble de toutes les issues possibles, et on l'appelle l'univers. Pour un dé, c'est l'ensemble des entiers de un à six : il est fini. Pour le nombre de clients reçus en une heure, c'est l'ensemble des entiers naturels : il est infini, mais on peut numéroter ses éléments. Pour un temps d'attente à un guichet, c'est l'ensemble des réels positifs : on ne peut plus énumérer les issues une à une. Ces trois types d'univers reviendront tout au long du parcours. Les deux premiers mènent aux lois discrètes, le troisième aux lois à densité du module 4.

Pour une même expérience, plusieurs univers sont possibles. Lance deux pièces. Tu peux noter le résultat de chaque pièce, ce qui donne quatre issues : pile pile, pile face, face pile, face face. Tu peux aussi noter seulement le nombre de piles : zéro, un ou deux. Les deux descriptions sont justes, mais elles ne se valent pas pour calculer. Dans la première, les quatre issues ont la même chance. Dans la seconde, obtenir un seul pile est deux fois plus probable qu'en obtenir deux. Retiens ce conseil : quand c'est possible, choisis un univers où les issues sont équiprobables.

Un événement, c'est une affirmation sur le résultat, qu'on traduit par une partie de l'univers. Avec un dé, l'événement obtenir un nombre pair correspond à l'ensemble deux, quatre, six. Il est réalisé si l'issue obtenue appartient à cet ensemble. L'univers tout entier est l'événement certain : il se réalise toujours. L'ensemble vide est l'événement impossible. Un événement qui contient une seule issue s'appelle un événement élémentaire. Cette traduction a un grand avantage : les mots et, ou et non deviennent des opérations précises sur les ensembles, que tu vas voir tout de suite.

L'intersection de A et B, notée A inter B, correspond à la phrase A et B sont réalisés tous les deux. La réunion, A union B, veut dire qu'au moins l'un des deux est réalisé. Le contraire de A, noté A barre, est réalisé quand A ne l'est pas. Enfin, deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire ensemble : leur intersection est vide. Avec un dé, obtenir un nombre pair et obtenir un cinq sont incompatibles. Attention au mot ou : en mathématiques, il est inclusif. A ou B est vrai aussi quand les deux sont réalisés.

Trois idées résument cette leçon. Une expérience aléatoire a des issues connues et un résultat imprévisible. L'univers est l'ensemble de ces issues, et c'est toi qui le choisis en fonction de la question, de préférence avec des issues équiprobables. Un événement est une partie de l'univers, et les mots et, ou, non deviennent intersection, réunion et contraire. Pour t'entraîner, prends une situation de ta journée, comme le nombre de messages reçus dans la matinée, et écris son univers et deux événements. Dans la prochaine leçon, tu vas donner une valeur à ces événements : leur probabilité.