Une probabilité et ses premières règles

Tu sais décrire une expérience par un univers et des événements. Il reste à mesurer leurs chances. C'est le rôle d'une probabilité : une fonction qui associe à chaque événement un nombre entre zéro et un. Toute probabilité respecte quelques règles, d'où découlent des formules pour le contraire et pour la réunion. Tu verras aussi le lien avec les fréquences observées. Ce lien sert de fil conducteur aux simulations de tout le parcours, puisque chaque résultat sera vérifié par des milliers de tirages.

En 1933, le mathématicien soviétique Andreï Kolmogorov a montré que toute la théorie tient sur trois exigences. Pense à une probabilité comme à une quantité que l'on partage entre les événements. Aucun événement ne peut recevoir une part négative, ni plus que le tout : chaque probabilité se situe entre zéro et un. Le tout, c'est l'univers, et sa part vaut exactement un. Enfin, deux événements sans aucune issue commune reçoivent ensemble la somme de leurs parts, comme deux parcelles voisines qui ne se chevauchent pas additionnent leurs surfaces. Quand l'univers est infini, on exige que cette addition fonctionne aussi pour une suite sans fin d'événements qui ne se recoupent pas. Toutes les formules du parcours sortent de là.

Quand l'univers est fini, il suffit de donner la probabilité de chaque issue, avec une seule contrainte : leur total doit faire un. La probabilité d'un événement est alors la somme des probabilités des issues qui le composent. Prends un dé truqué où le six sort avec une probabilité de 0,25 et chacune des cinq autres faces avec une probabilité de 0,15. Le total fait bien un. La probabilité d'obtenir un nombre pair vaut 0,15 plus 0,15 plus 0,25, soit 0,55. Le dé n'est pas équilibré, et pourtant le calcul reste simple.

Un événement et son contraire ne se produisent jamais ensemble, et l'un des deux se produit toujours : leurs probabilités totalisent donc un, et P de A barre vaut un moins P de A. Cette règle devient précieuse dès qu'une question contient les mots au moins un. Aux petits chevaux, comme au ludo, il faut un six pour sortir un pion. Quelle chance as-tu d'y parvenir en trois lancers ? Compter les cas avec un, deux ou trois six serait pénible. Le contraire est simple : aucun six, c'est cinq faces permises à chaque lancer, soit cent vingt-cinq suites sur deux cent seize. Au moins un six vaut donc un moins cent vingt-cinq sur deux cent seize, environ 0,42. Il faut un quatrième lancer pour passer juste au-dessus d'une chance sur deux. Le calcul rapide, trois fois un sixième, donnerait un demi : il est faux, car les six des différents lancers ne sont pas incompatibles.

Quand deux événements ne sont pas incompatibles, additionner leurs probabilités compte deux fois les issues communes. Il faut donc retirer une fois la probabilité de l'intersection. Prends une promotion d'étudiants à Kinshasa. 60 % parlent lingala, 45 % parlent anglais, et 25 % parlent les deux. La probabilité qu'un étudiant tiré au hasard parle au moins une des deux langues vaut 0,60 plus 0,45 moins 0,25, soit 0,80. Et par le contraire, 20 % ne parlent ni l'une ni l'autre. Deux cercles qui se chevauchent sur une feuille rendent ce calcul évident.

D'où viennent les probabilités dans la pratique ? Parfois de la symétrie, comme pour un dé équilibré. Parfois de l'observation : la fréquence d'un événement, c'est le nombre de fois où il s'est produit divisé par le nombre d'essais. Lance dix fois une pièce : tu peux très bien obtenir sept piles. Lance-la dix mille fois : la fréquence de pile sera très proche de 0,5. Ce rapprochement porte un nom, la loi des grands nombres, et tu la démontreras au module 6. En attendant, elle justifie une habitude de ce parcours : vérifier chaque calcul par une simulation.

Retiens les trois règles d'une probabilité : un nombre entre zéro et un, l'univers qui vaut un, et l'addition pour des événements incompatibles. Retiens aussi les deux formules qui en découlent. Le contraire vaut un moins la probabilité de l'événement, et c'est ton réflexe face à un au moins un. La réunion se calcule en additionnant, puis en retirant l'intersection. Garde enfin en tête que la fréquence observée sur beaucoup d'essais se rapproche de la probabilité. Dans la prochaine leçon, tu vas apprendre à compter les issues, car en situation d'équiprobabilité, calculer une probabilité revient à compter.