La probabilité conditionnelle

Une information change les probabilités. Si tu sais qu'un client a moins de vingt-cinq ans, la chance qu'il paie ses factures par téléphone n'est plus la même que pour un client quelconque. La probabilité conditionnelle mesure cette chance mise à jour. C'est l'outil central de ce module, et sans doute le plus utile du parcours, car toutes les décisions se prennent avec une information partielle. Dans cette leçon, tu vas la définir, la lire dans un tableau de données, puis l'utiliser pour calculer la probabilité que deux événements se produisent ensemble.

Prends une enquête fictive auprès de quatre cents utilisateurs d'un service de paiement mobile à Abidjan. Cent soixante ont moins de vingt-cinq ans, et parmi eux, cent vingt paient leurs factures par mobile. Deux cent quarante ont vingt-cinq ans ou plus, et parmi eux, quatre-vingt-dix paient ainsi. Au total, deux cent dix personnes sur quatre cents paient leurs factures par mobile. Si tu tires une personne au hasard, la probabilité qu'elle le fasse vaut 210 sur 400, soit 0,525. Mais si tu sais déjà qu'elle a moins de vingt-cinq ans, tu ne regardes plus que la ligne des jeunes.

La probabilité de A sachant B est la probabilité de l'intersection divisée par la probabilité de B. Elle n'a de sens que si B a une probabilité non nulle. L'idée est simple : on oublie toutes les issues où B n'est pas réalisé, et l'on regarde quelle part de ce qui reste réalise aussi A. Dans l'enquête, la probabilité de payer ses factures par mobile sachant qu'on a moins de vingt-cinq ans vaut 120 sur 160, soit 0,75. L'information sur l'âge fait passer la probabilité de 0,525 à 0,75. C'est un changement important.

Maintenant, inverse la question. Parmi les personnes qui paient leurs factures par mobile, quelle part a moins de vingt-cinq ans ? On se restreint cette fois au groupe des payeurs : 120 sur 210, soit environ 0,571. Ce nombre n'a rien à voir avec 0,75. La probabilité de A sachant B et celle de B sachant A répondent à deux questions différentes, avec deux populations de référence différentes. Les confondre est l'une des erreurs les plus fréquentes, dans les journaux comme dans les tribunaux. Tu y reviendras en détail dans la dernière leçon du module.

En retournant la définition, on obtient la formule des probabilités composées : la probabilité de A et B vaut la probabilité de B multipliée par la probabilité de A sachant B. Elle sert quand une situation se déroule en étapes. Prends un minibus de transport urbain à Bamako, avec des chiffres d'exemple. La probabilité qu'il tombe en panne le matin vaut 0,1. Quand il est tombé en panne le matin et qu'il a été réparé à la hâte, la probabilité qu'il retombe en panne l'après-midi monte à 0,3. La probabilité de deux pannes dans la même journée vaut donc 0,1 fois 0,3, soit 0,03.

Quand B est fixé, la probabilité sachant B est une probabilité à part entière. Elle respecte les trois règles vues au module 1. Toutes les formules restent donc vraies, à condition de garder la même condition partout. Par exemple, la probabilité de ne pas payer ses factures par mobile sachant qu'on a moins de vingt-cinq ans vaut un moins 0,75, soit 0,25. De même, la formule de la réunion s'applique sachant B. Tu peux voir le conditionnement comme un changement d'univers : B devient le nouvel univers, et tout se calcule à l'intérieur.

Retiens la définition : la probabilité de A sachant B est la probabilité de l'intersection divisée par celle de B. Concrètement, tu te restreins aux cas où B est réalisé. Retiens aussi le piège : la probabilité de A sachant B n'est pas celle de B sachant A, car la population de référence change. Enfin, la formule des probabilités composées te permet d'enchaîner les étapes d'une situation. Avec un tableau d'effectifs, tous ces calculs deviennent des divisions simples. Dans la prochaine leçon, tu vas organiser ces étapes dans un arbre et voir la formule des probabilités totales.