Différentielles et petites variations

Un ingénieur ou un technicien se pose souvent la même question : si cette grandeur change un peu, de combien change le résultat ? Si la tension du réseau baisse de 5 pour cent, que devient la puissance d'un chauffe-eau ? Si un rail chauffe de 40 degrés, de combien s'allonge-t-il ? Pour répondre vite, sans refaire tout le calcul, on utilise la différentielle. Dans cette leçon, tu vas apprendre à estimer une petite variation à partir d'une dérivée, à raisonner en pourcentages avec la différentielle logarithmique, et à vérifier que l'approximation reste valable. C'est un outil de terrain, rapide et très utilisé.

Près d'un point, une courbe ressemble beaucoup à sa tangente. Donc, pour une petite variation h, f de a plus h vaut à peu près f de a plus f prime de a fois h. On écrit cela df égale f prime de x dx, et l'on appelle df la différentielle. Appliquée à la fonction puissance, cette idée donne un outil de calcul de tête : un plus epsilon, à la puissance n, vaut à peu près un plus n epsilon, quel que soit l'exposant, entier, négatif ou fractionnaire. Exemple : la pesanteur diminue avec l'altitude h comme g zéro fois un plus h sur R, à la puissance moins 2, où R est le rayon de la Terre, environ 6 371 kilomètres. À 4 000 mètres, à peu près l'altitude du mont Cameroun, h sur R vaut environ 0,00063. L'approximation donne une baisse de deux fois cette valeur, environ 0,13 pour cent, et le calcul exact donne la même pesanteur à environ un millionième près.

Quand un matériau chauffe, il s'allonge un peu. La loi s'écrit directement avec une différentielle : dL égale alpha L dT, où alpha est le coefficient de dilatation linéaire. Les tables donnent alpha dans des unités variées. Un digeste technique d'un organisme public canadien de recherche indique pour l'acier une valeur moyenne d'environ 7 millionièmes par degré Fahrenheit. Un écart de 1 kelvin valant 1,8 degré Fahrenheit, cela fait environ 12,6 millionièmes par kelvin, et la valeur exacte dépend de la nuance d'acier. Un rail de 30 mètres qui passe de la fraîcheur du matin au plein soleil, soit 40 kelvins de plus, s'allonge donc d'environ 1,5 centimètre. Pour un volume, V égale L au cube : sa variation relative vaut trois fois celle de la longueur, une règle que la diapo suivante va généraliser.

Pour une grandeur qui est un produit de puissances, il existe un raccourci très efficace : la différentielle logarithmique. Tu prends le logarithme, puis tu différencies. Pour la puissance d'une résistance, P égale U carré sur R, cela donne : dP sur P égale deux fois dU sur U moins dR sur R. Les variations relatives s'additionnent, multipliées par leurs exposants. Application : dans un quartier où la tension du réseau baisse de 5 pour cent en fin de journée, un chauffe-eau ou un fer à repasser perd environ 10 pour cent de puissance. Le calcul exact donne 9,75 pour cent. L'estimation est donc bonne.

Quand une grandeur dépend de plusieurs variables, sa différentielle est la somme des contributions de chacune : la dérivée partielle par rapport à x fois dx, plus la dérivée partielle par rapport à y fois dy. Prends un réservoir d'eau cylindrique de 1 mètre de rayon et de 3 mètres de haut, qui contient environ 9,42 mètres cubes. Le fabricant livre un réservoir avec 1 centimètre de plus sur le rayon et 2 centimètres de plus en hauteur. La différentielle donne 2 pi r h dr plus pi r carré dh, soit environ 0,251 mètre cube, 251 litres de plus. Le calcul exact donne environ 254 litres : l'estimation est fiable.

La différentielle remplace la courbe par sa tangente : plus tu t'éloignes du point de départ, plus l'écart grandit. Reprends la pesanteur. À 400 kilomètres, l'altitude typique d'une station spatiale en orbite basse, l'approximation annonce 0,874 fois g zéro, alors que la vraie valeur est 0,885 : l'erreur dépasse déjà 1 pour cent. À une altitude égale au rayon terrestre, elle annonce moins g zéro, une pesanteur dirigée vers le haut, ce qui est absurde : la vraie valeur est g zéro sur 4. La bonne pratique est simple : fais l'estimation, puis compare-la une fois au calcul exact, sur ta calculatrice ou en Python. Remarque enfin que l'évaluation des incertitudes de mesure utilise le même outil, avec des règles supplémentaires qui ne sont pas traitées dans ce parcours.

La différentielle est un outil de calcul rapide : une petite variation de la cause produit une variation de l'effet à peu près égale à la dérivée multipliée par cette petite variation. Pour les produits et les puissances, raisonne en pourcentages, en multipliant chaque variation relative par son exposant. Pour plusieurs variables, additionne les contributions. Et garde le réflexe de comparer au calcul exact. Tu as maintenant les outils du module : exponentielle, logarithme, trigonométrie, dérivées et différentielles. Le lab va te faire calculer une décharge de condensateur et l'atténuation de la lumière dans une lagune, puis la simulation te place dans une radio de Labé.