Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques

Jusqu'ici, tu as repéré les points avec x, y et z. C'est pratique pour une pièce rectangulaire, beaucoup moins pour un fil électrique, une conduite d'eau, une antenne qui rayonne dans toutes les directions ou la Terre entière. Dans ces cas, on utilise des distances et des angles. Dans cette leçon, tu vas apprendre trois systèmes : les coordonnées polaires dans un plan, les cylindriques et les sphériques dans l'espace. Tu vas surtout apprendre à choisir le bon système. Le critère est la symétrie : quand les coordonnées épousent la forme de l'objet, les grandeurs physiques dépendent souvent d'une seule variable au lieu de trois.

Dans un plan, un point peut se repérer par sa distance r à l'origine et par l'angle thêta que fait sa direction avec l'axe x. Pour revenir aux cartésiennes, x vaut r cosinus thêta et y vaut r sinus thêta. Dans l'autre sens, r est la racine de x carré plus y carré. Pour l'angle, méfie-toi de la touche arctangente. Prends le point moins 4, 3 : r vaut 5. L'arctangente de 3 sur moins 4 affiche environ moins 36,9 degrés, un angle qui pointe en bas à droite. Or le point est en haut à gauche : il faut ajouter 180 degrés, ce qui donne environ 143,1 degrés. Un croquis rapide évite l'erreur, et la fonction atan2 des calculatrices et des langages de programmation fait la correction toute seule.

Les coordonnées polaires sont faites pour les rotations. Quand un point tourne autour d'un axe, sa distance r reste constante, et seul son angle change avec le temps. La vitesse de rotation de l'angle s'appelle la vitesse angulaire, notée oméga, en radians par seconde. La vitesse du point vaut alors r fois oméga. Prends un ventilateur industriel d'atelier qui tourne à 600 tours par minute. Un tour fait 2 pi radians, donc oméga vaut 600 fois 2 pi divisé par 60, environ 62,8 radians par seconde. Un point de la pale situé à 20 centimètres de l'axe va à environ 12,6 mètres par seconde, plus de 45 kilomètres à l'heure.

Les coordonnées cylindriques prennent les polaires dans le plan horizontal et ajoutent la hauteur z. Elles conviennent à tout ce qui s'organise autour d'un axe : un fil électrique, un câble coaxial de télécommunications, une conduite d'eau, un réservoir, un forage dans le sol. Leur intérêt se mesure au nombre de variables. Le champ créé par un long fil rectiligne garde la même valeur si tu tournes autour du fil ou si tu te déplaces le long de lui : seule compte la distance r. Une seule variable au lieu de deux ou trois, c'est autant de dérivées et d'intégrales en moins. Place donc l'axe z sur l'axe du fil, du tuyau ou du forage avant de commencer.

Pour une charge ponctuelle, une antenne qui rayonne, une étoile ou la Terre, on utilise les coordonnées sphériques. Le point est repéré par sa distance r au centre, par l'angle thêta entre l'axe z et sa direction, qui va de 0 à 180 degrés, et par l'angle phi, l'azimut, mesuré dans le plan horizontal comme en polaires. C'est la convention habituelle des cours de physique en français. Attention : beaucoup de manuels de mathématiques, notamment en anglais, échangent les noms des deux angles. Avant d'utiliser une formule trouvée dans un livre ou sur internet, vérifie donc quel angle est mesuré depuis l'axe vertical.

Les géologues et les géophysiciens utilisent les sphériques en permanence. Place le centre de la Terre à l'origine et l'axe z sur l'axe des pôles, vers le nord. L'angle thêta, compté depuis le pôle Nord, porte alors le nom de colatitude : c'est le complément de la latitude, 90 degrés moins la latitude. Pour Conakry, vers 9,5 degrés nord, thêta vaut environ 80,5 degrés. Avec un rayon terrestre moyen de 6 371 kilomètres, la hauteur z de la ville au-dessus du plan de l'équateur vaut R cosinus thêta, environ 1 050 kilomètres. Montréal, vers 45,5 degrés nord, monte à environ 4 540 kilomètres. Kinshasa, vers 4,3 degrés sud, a une colatitude un peu supérieure à 90 degrés, et son z devient négatif, environ moins 480 kilomètres. Quant à l'azimut phi, il joue le rôle de la longitude, comptée à partir du méridien d'origine.

Pour calculer une surface, un volume ou une masse dans ces coordonnées, il faut savoir mesurer un tout petit morceau d'espace. En polaires, quand r augmente de dr et thêta de d thêta, on balaie un petit rectangle courbe de côtés dr et r d thêta : sa surface vaut r dr d thêta. Le facteur r est essentiel. Loin du centre, un même petit angle balaie une plus grande longueur. En cylindriques, on multiplie par dz. En sphériques, le petit volume vaut r carré sinus thêta dr d thêta d phi. Tu n'as pas besoin de démontrer ces formules : garde-les sous la main, tu les utiliseras dans le module 3.

Pour choisir un système, pose-toi une seule question : quel déplacement laisse le problème identique ? Si l'objet est limité par des faces planes, ou si l'on peut glisser dans une direction sans que rien ne change, comme le long d'un mur, les cartésiennes conviennent. Si l'on peut tourner autour d'un axe, comme autour d'un câble ou d'un tuyau, prends les cylindriques. Si l'on peut tourner dans tous les sens autour d'un point, comme autour d'une charge ponctuelle ou du centre de la Terre, prends les sphériques. Calcule les angles en tenant compte du quadrant, et vérifie toujours la convention utilisée par ta source. Pour le lab de ce module, tu vas calculer les haubans d'un mât d'antenne. Ensuite viendra la simulation, sur le pied d'un pylône, puis le quiz.