Le produit vectoriel et le moment d'une force

Le produit scalaire donne un nombre. Le produit vectoriel, lui, donne un nouveau vecteur, perpendiculaire aux deux premiers. Il apparaît dès qu'une rotation ou une surface entre en jeu. Quand tu serres un écrou avec une clé, l'effet de rotation dépend de la force et du bras de levier : c'est un produit vectoriel. Quand un fil parcouru par un courant se trouve dans un champ magnétique, la force qui fait tourner un moteur électrique est aussi un produit vectoriel. Dans cette leçon, tu vas apprendre à le calculer, à trouver son sens sans te tromper, et à l'utiliser sur trois exemples concrets.

Le produit vectoriel de u par v, noté u ∧ v en France et souvent u croix v ailleurs, est un vecteur perpendiculaire au plan formé par u et v. Sa norme vaut le produit des normes multiplié par le sinus de l'angle. Il est donc nul si les deux vecteurs sont parallèles. Pour son sens, utilise la main droite : le pouce suit u, l'index suit v, et le majeur, plié vers toi, donne le sens du produit. Attention, l'ordre compte. Si tu échanges u et v, le résultat change de sens. C'est la source d'erreur la plus fréquente, alors vérifie toujours l'ordre de l'énoncé.

En composantes, la formule paraît longue, mais chaque ligne se construit de la même façon : la composante selon x n'utilise que y et z, celle selon y n'utilise que z et x, celle selon z n'utilise que x et y, toujours dans cet ordre. Pour vérifier que tu l'as bien en tête, applique-la aux vecteurs de base i et j : tu dois retrouver k. Prenons u égale 1, 2, 0 et v égale 3, 1, 0. Les deux vecteurs sont dans le plan horizontal, donc le produit est vertical : ses deux premières composantes sont nulles. La troisième vaut 1 fois 1 moins 2 fois 3, soit moins 5. Le produit pointe vers le bas, ce que la main droite confirme.

Le moment d'une force par rapport à un point O mesure sa capacité à faire tourner. On l'obtient par le produit vectoriel du vecteur qui va de O au point d'application A, par la force. Prends le treuil d'un puits de village, au Burkina Faso par exemple, avec une manivelle de 35 centimètres. Si tu tires avec 60 newtons perpendiculairement au bras de la manivelle, le moment vaut 60 fois 0,35, soit 21 newtons mètres. Si ta force ne fait que 30 degrés avec le bras, le sinus de 30 degrés vaut un demi, et le moment tombe à 10,5 newtons mètres : seule la moitié de ton effort sert à tourner. Et si tu tires dans l'axe du bras, le moment est nul, la manivelle ne bouge pas. Le bon geste consiste donc à garder la force perpendiculaire au bras pendant tout le tour.

La norme du produit vectoriel a une interprétation géométrique très utile : c'est l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. Pour un triangle, tu prends la moitié. Un topographe relève une parcelle triangulaire au bord d'une route près de Thiès. Depuis le sommet A, il mesure AB, 40 mètres vers l'est, et AC, 10 mètres vers l'est et 30 vers le nord. Le produit vectoriel vaut 0, 0, 1 200 mètres carrés. L'aire du triangle est donc de 600 mètres carrés. La même méthode fonctionne en trois dimensions, par exemple pour l'aire d'un pan de toiture incliné ou d'une faille sur un modèle géologique.

En électricité, un fil conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique subit une force, appelée force de Laplace. Elle vaut I fois le vecteur longueur du fil, vectoriel le champ magnétique. Prends un fil de 20 centimètres, parcouru par 5 ampères, dans un champ de 0,4 tesla perpendiculaire au fil. La force vaut 5 fois 0,2 fois 0,4, soit 0,4 newton. Elle est perpendiculaire à la fois au fil et au champ. C'est le principe du moteur électrique, où cette force fait tourner le rotor, et du haut-parleur, où elle fait vibrer la membrane. Pour une charge en mouvement, on a la même forme : q fois v vectoriel B.

Te souviens-tu de ce que représente la norme du produit vectoriel, et de ce qui change quand tu inverses l'ordre des deux vecteurs ? Voici l'essentiel. Le produit vectoriel fabrique un vecteur perpendiculaire aux deux autres. Sa norme vaut le produit des normes par le sinus de l'angle, et elle représente l'aire du parallélogramme qu'ils forment. Son sens se trouve avec la main droite, et l'ordre des facteurs change le signe. Tu l'utiliseras pour les moments de force en mécanique, pour les aires en topographie et en géologie, et pour les forces magnétiques en électrotechnique. Un dernier conseil : puisque le résultat doit être orthogonal à chacun des deux facteurs, calcule ses produits scalaires avec u puis avec v. Si l'un d'eux ne vaut pas zéro, une erreur de signe ou d'indice s'est glissée, et tu sais quelle ligne reprendre.