Vecteurs, composantes et normes

Bienvenue dans ce parcours d'outils mathématiques. Ici, les mathématiques ne sont pas une fin : ce sont des outils pour calculer juste en électronique, en mécanique, en chimie, en biologie ou en géologie. On commence par l'outil le plus utilisé de tous, le vecteur. Dans cette leçon, tu vas apprendre à reconnaître une grandeur vectorielle, à l'écrire avec ses composantes, à calculer sa longueur, qu'on appelle sa norme, et à additionner deux vecteurs. À la fin, tu sauras décomposer la tension d'un câble incliné en une partie horizontale et une partie verticale, un calcul que tu referas souvent.

Certaines grandeurs se décrivent avec un seul nombre suivi d'une unité. La température d'une salle, 28 degrés, la masse d'un sac de ciment, 50 kilogrammes, l'énergie d'une batterie : ce sont des scalaires. D'autres grandeurs n'ont de sens que si l'on précise vers où elles agissent. Dire qu'une force vaut 200 newtons ne suffit pas : tire-t-elle vers le haut, vers la gauche, en biais ? Une vitesse, une force, un champ électrique ou le déplacement d'un drone sont des vecteurs. Dans les livres, tu les verras avec une petite flèche au-dessus de la lettre, ou écrits en gras. Dans ce cours, on dira simplement « le vecteur F ».

Pour calculer avec un vecteur, on le place dans un repère. Le plus simple est le repère orthonormé : une origine, trois axes perpendiculaires, et sur chaque axe un vecteur de base de longueur 1, noté i, j et k. Tout vecteur s'écrit alors comme une somme : tant de fois i, plus tant de fois j, plus tant de fois k. Ces trois nombres sont ses composantes. Par exemple, un drone qui se déplace de 3 mètres vers l'est et de 4 mètres vers le nord, sans changer d'altitude, a pour déplacement le vecteur 3, 4, 0, en mètres. Choisis toujours ton repère avant de calculer, et dessine-le sur ta feuille.

La norme, c'est la longueur du vecteur, autrement dit l'intensité de la grandeur. Elle se calcule avec le théorème de Pythagore : tu fais la somme des carrés des composantes, puis tu prends la racine carrée. Pour notre drone, 3 au carré plus 4 au carré font 25, et la racine de 25 vaut 5. Le drone s'est donc éloigné de 5 mètres de son point de départ, en ligne droite. La norme garde l'unité du vecteur : des mètres pour un déplacement, des newtons pour une force. Et elle n'est jamais négative. Si tu trouves une norme négative, tu as oublié un carré quelque part.

Quand deux forces agissent sur le même objet, leur effet total est la somme des deux vecteurs. On additionne composante par composante. Imagine un crochet planté dans un mur à Abidjan, tiré par deux cordes. La première tire avec 120 newtons le long de l'axe x. La seconde tire avec moins 40 newtons en x et 90 newtons en y. La somme vaut 80 newtons en x et 90 en y. Sa norme fait environ 120 newtons. Remarque bien : ce n'est pas la somme des normes, 120 plus 98. Les deux cordes tirent en partie dans des sens opposés, donc leurs effets se compensent en partie.

Souvent, on connaît l'intensité d'une force et son angle, et l'on a besoin de ses composantes. Si la force fait un angle alpha avec l'horizontale, sa composante horizontale vaut F fois cosinus alpha, et sa composante verticale vaut F fois sinus alpha. Prends un câble qui tire avec 200 newtons, incliné de 30 degrés au-dessus de l'horizontale. La partie horizontale vaut environ 173 newtons, la partie verticale 100 newtons. Fais toujours le contrôle : 173 au carré plus 100 au carré redonne bien à peu près 200 au carré. Et vérifie sur ton dessin quel angle tu utilises : s'il est mesuré depuis la verticale, le cosinus et le sinus s'échangent.

Sans regarder tes notes, saurais-tu dire comment on obtient la norme d'un vecteur, et dans quel cas la norme d'une somme égale la somme des normes ? Voici ce qu'il faut garder, la méthode plus que les formules. D'abord, tu choisis un repère et tu le dessines. Ensuite, tu écris chaque vecteur avec ses composantes et son unité. Puis tu calcules composante par composante, et tu obtiens les normes avec Pythagore. Enfin, tu contrôles : les unités sont-elles cohérentes, la norme de la somme est-elle au plus égale à la somme des normes, l'égalité n'arrivant que pour deux vecteurs de même direction et de même sens, le résultat a-t-il un ordre de grandeur plausible ?