Fonctions trigonométriques et signaux sinusoïdaux

Le courant du réseau électrique, le signal d'une antenne, la vibration d'un moteur, la houle sur l'océan : tout ce qui se répète régulièrement se décrit avec un sinus ou un cosinus. Dans cette leçon, tu vas consolider les bases trigonométriques qui servent en sciences, en commençant par le radian. Ensuite, tu vas apprendre à lire un signal sinusoïdal : son amplitude, sa fréquence, sa pulsation et sa phase. Tu sauras calculer le déphasage entre deux signaux à partir de leur décalage dans le temps, et la longueur d'onde d'une onde radio. Ces notions préparent directement le module 4 sur les nombres complexes.

En sciences, l'unité naturelle d'angle est le radian. Un angle en radians, c'est la longueur de l'arc divisée par le rayon. Un tour complet correspond donc à 2 pi radians, soit 360 degrés, et un radian vaut environ 57,3 degrés. Pourquoi ce choix ? Parce que les formules de dérivation des fonctions trigonométriques ne sont simples qu'en radians. Dans un signal, le terme oméga t est toujours en radians. Le piège classique, c'est la calculatrice, ou un programme, réglé en degrés alors que tu calcules un signal. Prends l'habitude de vérifier : cosinus de pi doit donner moins 1.

Sur un cercle de rayon 1, le point repéré par l'angle thêta a pour abscisse cosinus thêta et pour ordonnée sinus thêta. Cette image suffit à retrouver l'essentiel : cosinus carré plus sinus carré égale 1, cosinus de 0 vaut 1, cosinus de pi sur 2 vaut 0, cosinus de pi vaut moins 1. Retiens aussi une formule qui servira au module 3 pour la valeur efficace : cosinus carré de thêta égale un plus cosinus de deux thêta, le tout divisé par deux. Elle transforme un carré en une somme facile à intégrer. Le reste des formules se retrouve dans un formulaire, inutile de tout apprendre par cœur.

Un signal sinusoïdal s'écrit A cosinus de oméga t plus phi. A est l'amplitude, la valeur maximale, par exemple en volts. Oméga est la pulsation, en radians par seconde. Phi est la phase à l'origine, qui dit où en est le signal à l'instant zéro. La fréquence f, en hertz, vaut oméga divisé par 2 pi, et la période T vaut 1 sur f. La fréquence du réseau électrique n'est pas la même partout : 50 hertz en France, par exemple, et 60 hertz au Québec. À 50 hertz, oméga vaut environ 314 radians par seconde et une période dure 20 millisecondes. À 60 hertz, oméga monte à environ 377 radians par seconde et la période descend à 16,7 millisecondes. Avant tout calcul, renseigne-toi sur la fréquence du réseau là où tu travailles.

Quand deux signaux de même fréquence ne passent pas par leur maximum au même instant, on dit qu'ils sont déphasés. Le déphasage se calcule à partir du décalage dans le temps : il vaut oméga fois delta t, ou 2 pi fois delta t divisé par la période. Sur l'écran d'un oscilloscope, tu observes deux signaux à 1 kilohertz, donc de période 1 milliseconde, décalés de 0,25 milliseconde. Le décalage vaut un quart de période, donc le déphasage vaut un quart de tour : pi sur 2 radians, 90 degrés. On dit qu'ils sont en quadrature. Pour un décalage d'une demi-période, ils seraient en opposition de phase.

Une onde est un signal qui se propage. Elle dépend du temps et de la position : A cosinus de oméga t moins k x. Le nombre k, en radians par mètre, vaut 2 pi divisé par la longueur d'onde lambda. La vitesse de l'onde relie les deux : v égale lambda fois f. Pour une onde radio, la vitesse est celle de la lumière, environ 3 fois 10 puissance 8 mètres par seconde. Une radio FM qui émet à 100 mégahertz a donc une longueur d'onde de 3 mètres. C'est utile en télécommunications, car la taille d'une antenne se choisit souvent en fraction de longueur d'onde.

Le premier réflexe à garder est celui du radian : dans un signal, oméga t est toujours en radians. Ensuite, sache lire un signal sinusoïdal : amplitude, pulsation, fréquence, période, phase. La relation oméga égale 2 pi f doit devenir automatique. Pour comparer deux signaux, transforme le décalage dans le temps en déphasage. Et pour une onde, relie longueur d'onde, vitesse et fréquence. Toutes ces fonctions, tu vas maintenant les dériver : la dérivée est l'outil qui relie la charge au courant, la position à la vitesse, et la concentration à la vitesse d'une réaction.