Simplifier avec l'algèbre de Boole

Une équation plus courte, c'est moins de portes, moins de boîtiers, moins de soudures et moins de risques de panne. C'est aussi un circuit plus rapide. Mais comment raccourcir une équation sans en changer le sens ? L'algèbre de Boole, qui porte le nom du mathématicien britannique George Boole, donne des règles de calcul pour cela. Claude Shannon a ensuite montré qu'elle s'appliquait aux circuits de commutation, ce qui a ouvert la voie à l'électronique numérique. Tu vas apprendre les règles les plus utiles et les lois de De Morgan, puis câbler une équation uniquement avec des portes NON-ET.

Voici les règles de base. Elles se vérifient toutes avec une table de deux lignes, A égale 0 et A égale 1. Un OU avec 0 ne change rien, un ET avec 1 non plus. Un OU avec 1 donne toujours 1, un ET avec 0 donne toujours 0. Répéter une variable ne sert à rien : A ou A, c'est A. Enfin, une variable OU son complément donne toujours 1, et une variable ET son complément donne toujours 0. Ces règles ont l'air banales, mais ce sont elles qui font disparaître des termes entiers quand tu simplifies une longue équation.

Comme en calcul ordinaire, tu peux factoriser : A et B, ou A et C, s'écrit A et, entre parenthèses, B ou C. Tu peux aussi changer l'ordre des termes et des facteurs. Deux règles sont propres à la logique et très utiles. L'absorption d'abord : A ou A et B, c'est simplement A. Si A vaut 1, la sortie vaut 1 de toute façon ; si A vaut 0, le terme A et B vaut 0 aussi. Ensuite, A ou non A et B, c'est A ou B. Vérifie-la avec une table de quatre lignes : c'est le meilleur moyen de la retenir et d'avoir confiance en elle.

Reprenons le vote majoritaire. L'équation de départ a quatre termes de trois variables. L'astuce consiste à utiliser trois fois le terme A et B et C, ce qui est permis puisque répéter un terme ne change rien. On l'associe d'abord au terme non A, B, C : en factorisant B et C, il reste non A ou A, qui vaut 1. Ce couple se réduit donc à B et C. On fait de même avec les deux autres termes. Tu obtiens S égale A et B, ou B et C, ou A et C. En clair : l'alarme sonne si n'importe quelle paire de capteurs détecte. Trois ET à deux entrées et un OU à trois entrées suffisent.

Les lois de De Morgan sont les plus utiles de toutes. Première loi : le complément d'un ET est le OU des compléments. Deuxième loi : le complément d'un OU est le ET des compléments. Une façon simple de les retenir : on coupe la barre, et on change le signe ; le point devient plus et le plus devient point. Elles ont une conséquence pratique immédiate : une porte NON-ET équivaut à un OU dont les entrées sont inversées. Exemple concret : dire « la porte n'est pas à la fois fermée et verrouillée » revient à dire « elle est ouverte, ou elle n'est pas verrouillée ».

Grâce à De Morgan, une somme de produits se câble entièrement en NON-ET. Prends S égale A et B, ou C et D. Inverser deux fois ne change rien, donc tu peux écrire S comme le complément de son complément. En appliquant De Morgan au complément intérieur, le OU des deux produits devient le ET de leurs compléments. Autrement dit : deux NON-ET au premier niveau, un NON-ET en sortie. La règle à retenir est simple : dans une somme de produits câblée en deux niveaux, tu remplaces toutes les portes ET et la porte OU finale par des NON-ET, sans rien changer d'autre.

Pourquoi s'imposer un seul type de porte ? Pour des raisons pratiques. Sur une petite carte, chaque boîtier différent est une référence de plus à acheter, à stocker et à câbler. Avec le 74HC00 et ses quatre NON-ET, tu peux souvent tout faire avec un ou deux boîtiers identiques. Pour le vote majoritaire, il te faut trois NON-ET à deux entrées et un NON-ET à trois entrées, qui se fabrique lui-même avec des NON-ET à deux entrées. Avant de choisir, compte le nombre de boîtiers des deux solutions : c'est ce critère, plus que le nombre de portes, qui fait le coût d'une carte.

Retiens surtout les lois de De Morgan : on coupe la barre et on change le signe. Avec les règles de base et l'absorption, elles suffisent pour la plupart des simplifications. Le vote majoritaire revient souvent : A et B, ou B et C, ou A et C. Et une somme de produits se câble entièrement en NON-ET. La simplification algébrique a pourtant une limite : avec beaucoup de termes, on ne sait jamais si on a trouvé la forme la plus courte. La prochaine leçon te donne un outil graphique qui répond à cette question pour trois ou quatre variables, le tableau de Karnaugh.