Convertir entre décimal, binaire et hexadécimal

Une adresse de 16 bits écrite en binaire, c'est une suite de seize 0 et 1 où l'œil se perd vite. Comment l'écrire sans erreur, et comment la noter plus court ? Tu sais déjà lire un nombre binaire ; il faut maintenant savoir l'écrire à partir d'un nombre décimal. Pour gagner de la place, les électroniciens et les programmeurs utilisent aussi l'hexadécimal, la base seize. Tu repartiras avec deux méthodes de conversion vers le binaire, la lecture de l'hexadécimal d'un coup d'œil, et la façon de signaler la base d'un nombre pour éviter les confusions dans un programme ou une fiche technique.

Première méthode, celle des divisions successives. Tu divises le nombre par deux et tu notes le reste, qui vaut 0 ou 1. Tu recommences avec le quotient, jusqu'à obtenir zéro. Prenons 37. 37 divisé par 2 donne 18, reste 1. 18 donne 9, reste 0. 9 donne 4, reste 1. 4 donne 2, reste 0. 2 donne 1, reste 0. 1 donne 0, reste 1. Tu lis maintenant les restes de bas en haut : 1 0 0 1 0 1. Vérifie avec les poids : 32 plus 4 plus 1, on retrouve 37. Le premier reste obtenu est toujours le bit de poids faible.

Deuxième méthode, souvent plus rapide de tête : la méthode des poids. Tu cherches le plus grand poids qui tient dans ton nombre, tu le retires et tu mets un 1 à ce rang. Prenons 200. Le plus grand poids qui tient est 128 ; il reste 72. Ensuite 64 ; il reste 8. 32 et 16 ne tiennent pas, tu mets des 0. 8 tient ; il reste 0. Les rangs 4, 2 et 1 reçoivent donc des 0. Tu obtiens 1100 1000. Avec un peu d'entraînement, tu feras ces conversions sans papier pour tous les nombres jusqu'à 255.

L'hexadécimal est la base seize. Il lui faut seize chiffres : on prend 0 à 9, puis les lettres A, B, C, D, E et F pour les valeurs dix à quinze. Son intérêt est simple : seize, c'est deux puissance quatre. Un chiffre hexadécimal remplace donc exactement quatre bits, sans calcul compliqué. Un octet s'écrit avec deux chiffres hexadécimaux, de 00 à FF. Une adresse de 16 bits en demande quatre. C'est pour cela que tu verras de l'hexadécimal partout : dans les fiches techniques, les adresses mémoire, les adresses réseau ou les codes de couleur des pages web.

Pour passer du binaire à l'hexadécimal, tu découpes le nombre en groupes de quatre bits en partant de la droite, et tu remplaces chaque groupe par son chiffre. Notre octet 1011 0110 devient B6 : 1011 vaut onze, donc B, et 0110 vaut six. Un nombre de seize bits comme 0011 1100 1010 0101 devient 3CA5. Dans l'autre sens, chaque chiffre hexadécimal redonne ses quatre bits : C donne 1100, 5 donne 0101. Si le nombre de bits n'est pas un multiple de quatre, complète à gauche avec des zéros : la valeur ne change pas.

Pour convertir l'hexadécimal en décimal, tu utilises les poids de la base seize : 1, 16, 256, puis 4 096. B6 vaut onze fois seize, soit 176, plus six : 182, la valeur de tout à l'heure. Pour aller du décimal à l'hexadécimal, tu peux diviser par seize et lire les restes de bas en haut, comme en binaire. Mais souvent, le plus sûr est de passer par le binaire, puis de regrouper par quatre. La calculatrice de la plupart des ordinateurs a un mode programmeur qui fait ces conversions : sers-t'en pour vérifier, pas pour éviter d'apprendre.

Le nombre 10, est-ce dix, deux ou seize ? Tout dépend de la base, et une confusion peut coûter cher dans un programme. On utilise donc des préfixes. 0b devant un nombre signale du binaire, 0x signale de l'hexadécimal, et sans préfixe, on lit du décimal. Ces notations viennent des langages de programmation, et tu les retrouveras dans le code d'un microcontrôleur. Dans les livres et les cours, tu verras aussi la base écrite en petit indice, ou un h après le nombre. Choisis une notation et garde-la du début à la fin de ton travail.

Pour aller vers le binaire, tu as maintenant deux méthodes : les divisions successives par deux, en lisant les restes de bas en haut, ou la méthode des poids, plus rapide de tête. L'hexadécimal n'est qu'une façon courte d'écrire le binaire : un chiffre pour quatre bits. Et note toujours la base, avec 0b ou 0x. Pour t'entraîner, convertis ton année de naissance en binaire puis en hexadécimal, et vérifie avec la calculatrice. Prochaine question : comment une puce représente-t-elle un nombre négatif, et comment soustrait-elle avec un additionneur ?