L'histogramme

L'histogramme est le graphique des variables continues regroupées en classes : revenus, loyers, âges, temps de trajet. Il ressemble à un diagramme en barres, mais il obéit à une règle différente, et c'est cette règle qui piège beaucoup d'étudiants et même des logiciels. Ici, tu construis l'histogramme des loyers de 100 logements de Montréal, en dollars canadiens. Ce sont des données d'exercice. Tu verras comment traiter une classe plus large que les autres, puis comment lire la forme d'un histogramme pour en tirer une première description de la distribution.

Dans un diagramme en barres, les catégories sont séparées, et on laisse un espace entre les barres. Dans un histogramme, les classes se suivent sans trou : la fin de l'une est le début de la suivante. Les rectangles se touchent donc. Autre différence importante, l'axe horizontal d'un histogramme est une vraie échelle numérique, graduée en dollars, en années ou en minutes. Une classe de quatre cents dollars de large doit être deux fois plus large qu'une classe de deux cents dollars. Si ton tableur dessine toutes les classes avec la même largeur, ton graphique n'est pas encore un histogramme.

Voici la règle de l'histogramme : l'aire de chaque rectangle, c'est-à-dire sa largeur multipliée par sa hauteur, est proportionnelle à l'effectif de la classe. Quand toutes les classes ont la même amplitude, les largeurs sont égales, et la hauteur est simplement l'effectif. C'est le cas le plus fréquent. Mais quand une classe est plus large, il faut réduire sa hauteur pour que son aire reste juste. Sinon, l'œil, qui voit des surfaces, croit que cette classe contient beaucoup plus d'individus qu'en réalité. C'est la principale erreur de construction d'un histogramme.

Voici notre tableau. Douze logements ont un loyer de huit cents à moins de mille dollars, vingt-huit de mille à moins de mille deux cents, trente de mille deux cents à moins de mille quatre cents, dix-huit de mille quatre cents à moins de mille six cents, et douze de mille six cents à moins de deux mille. Les quatre premières classes ont une amplitude de deux cents dollars. La dernière a une amplitude de quatre cents dollars, deux fois plus. On l'a élargie parce que les loyers élevés sont plus rares. Regarde comment on va la dessiner.

On prend comme référence l'amplitude la plus courante, deux cents dollars. La dernière classe est deux fois plus large. Sa hauteur sera donc son effectif divisé par deux : douze divisé par deux, soit six. Le rectangle aura une largeur double et une hauteur de six, et son aire correspondra bien à douze logements. Si tu dessinais une hauteur de douze, son aire représenterait vingt-quatre logements : l'œil croirait qu'il y a autant de loyers élevés que de loyers entre mille et mille deux cents dollars. Indique sur l'axe vertical que la hauteur est un effectif pour deux cents dollars.

Une fois l'histogramme tracé, regarde sa forme. S'il est à peu près symétrique, en forme de cloche, les valeurs se répartissent de façon équilibrée autour du centre. C'est souvent le cas des tailles ou des notes d'un examen. S'il a une longue queue vers la droite, on dit qu'il est étalé à droite : beaucoup de valeurs modestes et quelques valeurs très élevées. C'est la forme typique des revenus, des salaires et des loyers. S'il a deux bosses, méfie-toi : ton fichier mélange peut-être deux groupes différents, comme des studios et des maisons, qu'il vaudrait mieux étudier séparément.

Dans un tableur, commence par construire ton tableau en classes, avec les effectifs. Un graphique en colonnes ne sait pas élargir une classe : toutes les colonnes ont la même largeur. L'astuce consiste à découper la classe large en morceaux de l'amplitude de référence, chacun avec la hauteur corrigée. Pour Montréal, la classe de 1 600 à 2 000 dollars devient deux colonnes de hauteur 6. Règle ensuite l'espacement entre les colonnes à zéro pour que les rectangles se touchent. Certains tableurs proposent un type histogramme qui calcule lui-même les classes : vérifie alors les bornes et la convention d'inclusion. Termine par des étiquettes claires et un titre complet, qui donne la variable, l'unité, le lieu et la date.

L'histogramme représente une variable continue regroupée en classes. Ses rectangles se touchent, son axe horizontal est une vraie échelle, et surtout, c'est l'aire de chaque rectangle qui est proportionnelle à l'effectif. Quand une classe est deux fois plus large, tu divises son effectif par deux pour obtenir sa hauteur. Regarde ensuite la forme : symétrique, étalée à droite, ou à deux bosses. Cette forme te guidera au module 3, quand tu devras choisir entre la moyenne et la médiane. Vient ensuite la boîte à moustaches, très utile pour comparer plusieurs groupes.