Les indices de Miller

Pour parler d'une face de cristal ou d'un plan d'atomes, il faut un nom précis. Dire « la face de gauche » ne marche pas, puisque le cristal peut être tourné dans tous les sens. Les cristallographes utilisent trois chiffres, les indices de Miller, qui donnent l'orientation d'un plan par rapport aux axes de la maille. Dans cette leçon, tu vas apprendre à les calculer en trois étapes, à lire leurs notations et à reconnaître quelques formes courantes. Tu verras aussi que ces plans sont ceux que la diffraction des rayons X mesure au laboratoire.

La méthode tient en trois étapes. D'abord, tu regardes où le plan coupe les trois axes de la maille, et tu exprimes ces intersections en nombre d'arêtes : par exemple deux fois a, trois fois b, six fois c. Ensuite, tu prends l'inverse de chaque nombre. Enfin, tu multiplies le tout par le plus petit nombre qui donne trois entiers. Ces trois entiers, notés h, k et l, s'écrivent entre parenthèses, sans virgule. Pourquoi les inverses ? Parce qu'ils évitent l'infini quand un plan est parallèle à un axe, et parce qu'ils se relient directement aux distances entre plans.

Prenons un plan qui coupe l'axe a à deux longueurs de maille, l'axe b à trois et l'axe c à six. Les intersections valent donc 2, 3 et 6. Les inverses valent un demi, un tiers et un sixième. Pour obtenir des entiers, multiplie par six : tu obtiens 3, 2 et 1. Le plan s'appelle donc trois deux un, écrit entre parenthèses. Fais l'exercice avec un plan qui coupe les trois axes à une longueur de maille : les inverses valent tous 1, et le plan s'appelle un un un. Sur un cube, c'est le plan qui coupe un coin.

Que faire si le plan ne coupe jamais un axe, parce qu'il lui est parallèle ? On dit qu'il le coupe à l'infini, et l'inverse de l'infini vaut zéro. Une face du cube perpendiculaire à l'axe a coupe a à une longueur de maille, et reste parallèle à b et à c : elle s'appelle un zéro zéro. Si l'intersection se trouve du côté négatif d'un axe, on garde le chiffre et on trace une petite barre au-dessus. On lit alors un barre, zéro, zéro, pour la face opposée. Sur un clavier, beaucoup de gens écrivent simplement un signe moins devant le chiffre.

La ponctuation compte. Entre parenthèses, h k l désigne un plan précis ou une face précise. Entre accolades, il désigne une forme, c'est-à-dire l'ensemble des faces que la symétrie rend équivalentes. Dans le système cubique, la forme un zéro zéro entre accolades réunit les six faces du cube. La forme un un un réunit les huit faces de l'octaèdre. Entre crochets, trois chiffres u v w désignent une direction, par exemple celle d'un axe ou d'une arête. Tu croiseras ces trois notations dans les manuels et dans les fiches de diffraction.

Ces formes se voient sur le terrain. Dans les anciennes mines de potasse d'Alsace, la sylvite cristallise en cubes, comme le sel : ce sont les six faces de la forme un zéro zéro. Dans les sables lourds d'une batée, en Haute-Guinée comme dans les rivières du Canada, tu trouves des octaèdres noirs et brillants de magnétite : forme un un un. Les grenats rouges de certains micaschistes montrent douze faces en losange : forme un un zéro. Reconnaître l'une de ces trois formes te dit tout de suite que tu tiens un cristal du système cubique.

Chaque famille de plans parallèles est séparée par une distance régulière, notée d. Dans le système cubique, elle se calcule simplement : le côté de la maille divisé par la racine carrée de h au carré plus k au carré plus l au carré. Pour la halite, de côté 5,64 ångströms, la famille deux zéro zéro donne 5,64 divisé par la racine de quatre, soit 2,82 ångströms. Or, c'est justement à cette distance que la halite donne son pic de diffraction le plus fort aux rayons X. Les indices de Miller font donc le lien entre la géométrie du cristal et les mesures du laboratoire.

Retiens la méthode : tu lis les intersections du plan avec les axes, tu prends les inverses et tu les rends entiers. Un zéro veut dire que le plan est parallèle à l'axe, et une barre qu'il le coupe du côté négatif. Les parenthèses désignent un plan, les accolades une forme, les crochets une direction. Et chaque famille de plans a sa distance d, que la diffraction mesure. Tu as maintenant tous les outils de la cristallographie de base. Le lab te propose de les utiliser sur trois minéraux réels, avec un logiciel gratuit et quelques solides en papier.