La maille et le réseau

Tu sais maintenant classer un cristal d'après sa forme. Mais cette forme n'est que la conséquence de ce qui se passe à l'échelle des atomes. Dans cette leçon, tu entres dans le cristal. Tu vas voir comment on décrit une structure avec un réseau et un motif, ce qu'est une maille élémentaire et comment compter les atomes qu'elle contient. Ensuite, tu feras un calcul que les minéralogistes font souvent : retrouver la masse volumique d'un minéral à partir de sa maille. Enfin, tu verras comment regarder une vraie maille en trois dimensions sur ton ordinateur.

Reprends l'image du tissu imprimé. Si tu marques d'un point le même coin de chaque motif, tu obtiens une grille de points régulière : c'est le réseau. Le dessin lui-même, que tu poses sur chaque point, c'est le motif. Pour un cristal, le motif est un petit groupe d'atomes, et le réseau est une grille de points en trois dimensions. La structure complète s'obtient en plaçant le même motif sur chaque point du réseau. Deux minéraux peuvent partager le même réseau avec des motifs différents : le cuivre natif et la halite ont tous deux un réseau cubique à faces centrées, mais le motif du cuivre est un seul atome, celui de la halite une paire sodium et chlore.

La maille élémentaire est une brique qui, empilée sans rotation dans les trois directions, reconstruit tout le cristal. C'est un parallélépipède, décrit par la longueur de ses trois arêtes, a, b et c, et par les trois angles entre elles, alpha, bêta et gamma. On choisit en général la maille qui montre le mieux la symétrie : elle n'est pas toujours la plus petite possible, tu le verras avec les mailles centrées. Ces longueurs s'expriment en ångströms, un dixième de nanomètre. La maille de la halite mesure environ 5,6 ångströms de côté : il en faudrait près de deux millions alignées pour faire un millimètre.

Dans une maille simple, notée P, les points du réseau sont seulement aux sommets. Mais on peut parfois ajouter un point au centre de la maille, on parle de maille centrée, notée I. Ou au centre de chaque face, maille à faces centrées, notée F. Ou seulement au centre de deux faces opposées, notée C. En combinant ces possibilités avec les sept systèmes, et en ne gardant que celles qui sont vraiment différentes, on obtient quatorze réseaux, qu'on appelle les réseaux de Bravais, du nom du physicien français qui les a décrits au dix-neuvième siècle.

Quand tu comptes les points d'une maille, attention aux partages. Un point placé à un sommet est commun à huit mailles voisines : il ne compte que pour un huitième. Un point au centre d'une face est partagé entre deux mailles : il compte pour une moitié. Un point au centre de la maille lui appartient entièrement. Dans une maille cubique simple, huit sommets fois un huitième donnent un seul point. Dans une maille cubique à faces centrées, il faut ajouter six faces fois une moitié : le total fait quatre. On note Z le nombre d'unités formulaires contenues dans la maille.

Calculons la masse volumique de la halite. Sa maille est cubique à faces centrées, de côté 5,64 ångströms, et elle contient quatre unités NaCl. La masse molaire de NaCl vaut 58,44 grammes par mole. La masse de la maille vaut donc quatre fois 58,44, divisé par le nombre d'Avogadro, 6,022 fois dix puissance vingt-trois. Le volume vaut le côté au cube, converti en centimètres : environ 1,79 fois dix puissance moins vingt-deux centimètres cubes. Le rapport donne environ 2,16 grammes par centimètre cube, très proche de la densité mesurée sur un cristal de sel gemme.

Tu peux voir de vraies mailles sur ton ordinateur. La Crystallography Open Database, une base ouverte, propose des fichiers au format CIF, un format texte standard qui décrit une structure : paramètres de maille, positions des atomes, symétrie. Télécharge celui de la halite, puis ouvre-le avec VESTA, un logiciel de visualisation gratuit pour un usage non commercial, sous Windows, macOS ou Linux. Fais tourner la maille, compte les atomes de sodium et de chlore, puis compare avec le quartz et la calcite. Tu verras tout de suite pourquoi la halite se casse en cubes.

Retiens qu'une structure cristalline se décrit par un réseau de points et un motif d'atomes posé sur chaque point. La maille élémentaire est la brique qui, répétée, reconstruit le cristal ; on la décrit par trois longueurs et trois angles. Il existe quatorze réseaux de Bravais. Et si tu connais la maille et son contenu, tu peux calculer la masse volumique théorique d'un minéral, puis la comparer à la mesure : un bon moyen de vérifier une identification. Dans la prochaine leçon, tu vas apprendre à nommer les plans d'atomes et les faces des cristaux avec les indices de Miller.