Actualiser : ce que vaut aujourd'hui une somme future

Capitaliser, c'est avancer dans le temps : on part d'aujourd'hui et on calcule ce qu'on aura plus tard. Actualiser, c'est reculer : on part d'une somme future et on cherche ce qu'elle vaut aujourd'hui. Cette opération sert partout : pour savoir combien placer pour atteindre un objectif, pour comparer deux offres de paiement, pour évaluer un projet. On part de la formule, on regarde comment le taux change le résultat, puis on compare deux offres qui n'arrivent pas à la même date, avant de refaire le calcul avec la fonction VA du tableur.

La formule vient directement de celle de la leçon précédente. Si le capital futur vaut le capital de départ fois un plus i puissance n, alors le capital de départ vaut le capital futur divisé par un plus i puissance n. On écrit souvent cette division comme une multiplication par un plus i, puissance moins n. Ce nombre s'appelle le coefficient d'actualisation. Il est toujours plus petit que 1 quand le taux est positif : une somme future vaut toujours moins aujourd'hui. Par exemple, à 10 %, le coefficient pour une année vaut environ 0,909 : 100 dans un an valent environ 90,91 aujourd'hui.

Konan, à Abidjan, veut disposer de 5 000 000 de francs CFA dans six ans pour l'entrée de sa fille à l'université. Il a trouvé un placement à 5 % par an, intérêts capitalisés. Combien doit-il placer aujourd'hui, en une seule fois ? On divise 5 000 000 par 1,05 puissance 6, qui vaut environ 1,3401. Le résultat est d'environ 3 731 077 francs CFA. Vérifie dans l'autre sens : 3 731 077 fois 1,3401 redonne bien à peu près 5 000 000. Les intérêts accumulés pendant six ans, environ 1 269 000 francs, font le reste. Dans le module 7, tu verras comment atteindre le même objectif par petits versements.

Le taux d'actualisation change beaucoup le résultat. Prenons 100 000 payables dans dix ans. Si l'argent rapporte 3 % par an, cette somme vaut environ 74 409 aujourd'hui. Si l'argent rapporte 10 % par an, elle ne vaut plus qu'environ 38 554. Pourquoi ? Parce qu'avec un taux élevé, il suffit de placer peu aujourd'hui pour obtenir 100 000 dans dix ans. Retiens la règle : plus le taux est élevé, plus la date est lointaine, plus la valeur actuelle est faible. Là où les taux sont élevés, une promesse de paiement lointaine vaut donc beaucoup moins qu'on ne le croit.

On ne compare jamais directement deux sommes versées à des dates différentes. Imagine qu'un client te propose de payer 1 000 000 aujourd'hui, ou 1 150 000 dans deux ans. À première vue, 1 150 000 est plus gros. Ramenons-le à aujourd'hui. Si ton argent peut rapporter 8 % par an, l'offre B vaut 1 150 000 divisé par 1,08 au carré, soit environ 985 940 : l'offre A est meilleure. Si ton argent ne rapporte que 6 %, l'offre B vaut environ 1 023 496 : elle devient meilleure. La réponse dépend donc du taux. Dans toute comparaison, dis quel taux tu as choisi et pourquoi.

On dit que deux sommes sont équivalentes, à un taux donné, si elles ont la même valeur quand on les ramène à une même date. Par exemple, à 10 % par an, 1 000 aujourd'hui et 1 100 dans un an sont équivalents. Les intérêts composés ont une propriété très pratique : si deux sommes sont équivalentes à une date, elles le sont à toutes les dates. Tu peux donc choisir la date de comparaison la plus commode, aujourd'hui ou la date de la dernière échéance, sans changer la conclusion. Cette propriété n'existe pas en intérêts simples : c'est une raison de plus d'utiliser les intérêts composés dès que les durées dépassent un an.

La fonction VA, pour valeur actuelle, qu'on appelle PV en anglais, fait l'actualisation. Elle prend le taux, le nombre de périodes, le versement régulier, ici zéro, puis la valeur future. Pour Konan, tape égal VA, parenthèse, 5 %, point-virgule, 6, point-virgule, 0, point-virgule, 5 000 000. Le tableur affiche moins 3 731 076,98. Les 5 000 000 sont positifs, car Konan les recevra dans six ans. Le résultat est négatif, car c'est la somme qu'il doit verser aujourd'hui. Si un signe te paraît bizarre, ne change pas la formule au hasard : demande-toi qui paie et qui reçoit.

En résumé : actualiser, c'est diviser par un plus i puissance n, ou multiplier par le coefficient d'actualisation. Une somme future vaut d'autant moins aujourd'hui que le taux est élevé et la date lointaine. Pour comparer deux offres, ramène toujours les sommes à une même date et annonce le taux que tu utilises, car la conclusion peut changer avec lui. Dans le tableur, la fonction VA fait ce calcul. Dans la prochaine leçon, tu vas chercher l'inconnue cachée dans ces formules : le taux réel d'un placement, ou la durée nécessaire pour atteindre un objectif.