La méthode des potentiels aux nœuds

Dans la leçon précédente, tu as utilisé trois inconnues et trois équations pour un circuit pourtant simple. Les simulateurs comme LTspice ne travaillent pas ainsi : ils cherchent les potentiels des nœuds, puis en déduisent les courants. C'est la méthode des potentiels aux nœuds. Elle demande souvent beaucoup moins d'équations. Tu vas l'appliquer d'abord au circuit de la leçon précédente, puis à un réseau en échelle à deux nœuds. Tu verras aussi un raccourci très utilisé, le théorème de Millman, et comment vérifier tes calculs sur un simulateur.

L'idée est de changer d'inconnues. Au lieu de chercher les courants, tu cherches les potentiels des nœuds. Tu choisis d'abord la masse, souvent le nœud où se rejoignent le plus de branches, et tu lui donnes zéro volt. Chaque autre nœud reçoit un potentiel inconnu : V A, V B, et ainsi de suite. Ensuite, le courant dans une résistance qui relie A à B s'écrit simplement V A moins V B, divisé par R. Il ne reste qu'à écrire la loi des nœuds à chaque nœud inconnu. Avec n nœuds, tu as n moins un équations, quel que soit le nombre de branches.

Reprenons le circuit à deux sources. Il n'y a qu'un nœud inconnu, A. Écris que la somme des courants qui partent de A est nulle. Vers la première source, le courant vaut V A moins neuf, divisé par un kilohm. Vers la seconde, V A moins trois, divisé par deux. Vers la masse, V A divisé par deux. En regroupant, deux fois V A égale neuf plus 1,5, donc V A vaut 5,25 volts, comme dans la leçon précédente. Les courants viennent ensuite tout seuls : I1 égale neuf moins 5,25 sur un, soit 3,75 milliampères. Une seule équation au lieu de trois.

Quand un nœud est relié à plusieurs branches, chacune faite d'une source en série avec une résistance, tu peux écrire directement son potentiel. C'est le théorème de Millman : au numérateur, la somme de chaque tension de source divisée par sa résistance ; au dénominateur, la somme des inverses des résistances. Une branche sans source compte zéro au numérateur, mais elle compte bien au dénominateur. Pour notre circuit : neuf plus 1,5 plus zéro, divisé par un plus un demi plus un demi. Tu retrouves 5,25 volts. C'est un raccourci très utile pour les entrées de mélangeur audio ou les sommes de capteurs.

Passons à deux nœuds inconnus, avec un réseau en échelle. Une source de douze volts alimente le nœud A par 1,5 kilohm. De A partent une résistance de trois kilohms vers la masse, et une d'un kilohm vers le nœud B. De B part une résistance de deux kilohms vers la masse. Au nœud B, le courant qui arrive de A égale celui qui descend : tu trouves que 1,5 fois V B égale V A. Au nœud A, après avoir multiplié par trois et simplifié, tu obtiens deux V A moins V B égale huit. En combinant, V A vaut six volts et V B quatre volts.

Les deux méthodes donnent le même résultat, mais pas avec le même effort. Si ton circuit a peu de nœuds et beaucoup de branches en parallèle, prends les potentiels aux nœuds. S'il a peu de mailles et beaucoup de nœuds en série, la méthode des courants de maille, qui prend un courant fictif par fenêtre du circuit, peut être plus rapide. Un cas particulier fréquent : quand une source de tension relie directement un nœud à la masse, le potentiel de ce nœud est connu d'avance, et tu as une inconnue de moins. Quelle que soit la méthode, garde les mêmes contrôles : la loi des nœuds partout, et le bilan de puissance à la fin.

Dessine le réseau en échelle dans un simulateur. Dans Falstad, qui fonctionne dans le navigateur, il suffit de survoler un fil pour lire son potentiel. Dans LTspice, tu lances une analyse du point de fonctionnement, notée point o p, et le logiciel affiche le potentiel de chaque nœud et le courant de chaque composant. Compare avec tes six et quatre volts. Si tu trouves un écart, ne remets pas tout de suite ton calcul en cause : vérifie d'abord le schéma du simulateur, une masse oubliée ou une valeur saisie en ohms au lieu de kilohms. Le simulateur calcule juste ce que tu lui dessines.

La méthode des potentiels aux nœuds est la méthode des simulateurs, et elle sera souvent la tienne. Tu fixes la masse, tu donnes un potentiel inconnu à chaque autre nœud, tu écris les courants avec la différence de potentiel divisée par la résistance, et tu appliques la loi des nœuds. Pour un nœud relié à plusieurs branches, Millman te donne le résultat en une ligne. Dans le lab de ce module, tu vas appliquer cette méthode à un pont de résistances, le montage qu'on trouve derrière beaucoup de capteurs, puis tu vas comparer calcul, simulation et mesure.