La loi des nœuds

Les lois de Kirchhoff portent le nom du physicien allemand Gustav Kirchhoff, qui vivait au dix-neuvième siècle. Il y en a deux : la loi des nœuds et la loi des mailles. Avec elles, et avec la loi d'Ohm, tu peux mettre en équation n'importe quel circuit fait de sources et de résistances. On commence par la plus intuitive, la loi des nœuds. Tu vas apprendre à l'écrire sans te tromper de signe, à l'appliquer à une carte entière comme une carte Arduino, et à en tirer une formule pratique : le diviseur de courant.

La loi des nœuds dit qu'à chaque nœud, tout le courant qui arrive repart. La somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants. C'est la conservation de la charge : un fil ou un point de soudure ne peut pas stocker d'électrons. Pense à un carrefour de taxis-motos à Abidjan ou à Conakry : sur une longue période, autant de motos arrivent qu'il en repart, sinon le carrefour se remplirait sans fin. Si vingt milliampères arrivent à un nœud et que douze milliampères partent par une branche, alors huit milliampères partent forcément par l'autre.

Pour écrire la loi, tu regardes les flèches que tu as posées, pas le vrai sens du courant, que tu ne connais pas encore. Une flèche qui pointe vers le nœud donne un courant entrant, une flèche qui s'en éloigne donne un courant sortant. Par exemple, au nœud A, I1 et I2 arrivent, I3 et I4 repartent : I1 plus I2 égale I3 plus I4. Si tu connais I1, I2 et I3 et que tu trouves I4 négatif, tu n'as rien raté. Cela veut seulement dire que I4 arrive en réalité au nœud. La règle reste la même : on écrit d'abord, on interprète le signe ensuite.

Imagine une lampe solaire à trois LED, chacune avec sa propre résistance, toutes branchées en parallèle sur la batterie. Chaque branche tire quinze milliampères. Au nœud où les trois branches se rejoignent, la loi des nœuds donne le courant de la batterie : quarante-cinq milliampères. Si une LED grille et coupe sa branche, la batterie ne fournit plus que trente milliampères, et la lampe tiendra plus longtemps, mais en éclairant moins. Ce raisonnement simple te permet de prévoir la consommation d'un montage avant même de l'allumer, et de repérer une branche en panne avec une seule mesure de courant.

La loi des nœuds ne s'applique pas seulement à un point. Trace une ligne fermée autour d'une partie du circuit, par exemple autour d'une carte Arduino entière avec ses capteurs. Tout le courant qui entre dans cette zone par le fil plus de l'USB en ressort par la masse. Tu n'as pas besoin de connaître ce qui se passe à l'intérieur. C'est très pratique au club de robotique : une seule mesure sur le fil d'alimentation te donne la consommation totale de la carte et de tout ce qu'elle alimente. Si cette valeur grimpe sans raison, tu sais qu'un composant consomme trop.

Quand un courant total se partage entre deux résistances en parallèle, chaque branche reçoit une part inversement proportionnelle à sa résistance. Le courant dans R1 vaut le courant total multiplié par R2, divisé par la somme des deux. Remarque bien que c'est l'autre résistance qui apparaît au numérateur, c'est l'inverse du diviseur de tension. Avec trois milliampères, un kilohm et deux kilohms, tu obtiens deux milliampères dans un kilohm et un seul dans deux kilohms. Vérifie toujours avec la loi des nœuds : deux plus un font bien trois. Vérifie aussi la tension : deux milliampères dans un kilohm donnent deux volts, comme un milliampère dans deux kilohms. Les deux branches en parallèle ont bien la même tension.

Sur une plaque d'essai, mesure les courants qui arrivent à un nœud et ceux qui en repartent. Tu verras que la somme n'est jamais exactement nulle : par exemple 20,1 milliampères qui arrivent pour 19,8 qui repartent. Ce n'est pas Kirchhoff qui se trompe, ce sont les incertitudes de l'appareil et la petite chute de tension que l'ampèremètre ajoute à chaque insertion. En revanche, si l'écart est de cinq milliampères sur vingt, cherche une branche que tu as oubliée, une patte de composant qui touche une autre rangée, ou un mauvais contact. La loi des nœuds est un excellent outil de dépannage.

La loi des nœuds est la traduction électrique d'une idée simple : la charge ne disparaît pas et ne s'accumule pas dans un fil. Tu l'écris à partir des flèches que tu as posées, puis tu lis le signe des résultats. Tu peux l'appliquer à un point ou à une zone entière, ce qui est très utile pour vérifier une consommation. Et tu en tires le diviseur de courant, à manier avec prudence car c'est l'autre résistance qui va au numérateur. Avant de continuer, entraîne-toi sur un nœud à quatre branches en posant toi-même les flèches.