Résoudre un circuit à deux mailles

Tu connais les deux lois de Kirchhoff. Il est temps de les utiliser ensemble sur un vrai circuit, avec deux sources et trois résistances. Ce type de montage se résout difficilement en associant des résistances, parce que rien n'y est vraiment en série ou en parallèle. Tu vas suivre une méthode en cinq étapes : compter, écrire, résoudre, interpréter, contrôler. On fera tout le calcul ensemble, avec des valeurs simples. Garde une feuille et un crayon à côté de toi, et refais chaque ligne en même temps que moi.

Voici le circuit. Une source de neuf volts, avec une résistance d'un kilohm, amène le courant I1 vers un nœud A. Une source de trois volts, avec une résistance de deux kilohms, amène le courant I2 vers ce même nœud. Une troisième résistance de deux kilohms relie A à la masse et emporte le courant I3. Les deux sources ont leur borne moins à la masse. On a posé les trois flèches de courant vers le nœud pour I1 et I2, et vers la masse pour I3. Ce montage ressemble à une batterie qui reçoit l'énergie de deux sources différentes.

Avant d'écrire la moindre équation, compte. Il y a trois branches, donc trois courants inconnus, donc il te faut trois équations indépendantes. Il y a deux nœuds : le point A et la masse. Pourquoi n'écrire qu'une seule loi des nœuds ? Parce que chaque courant de branche quitte un nœud pour entrer dans un autre : si tu additionnes les équations de tous les nœuds, tout s'annule et il reste zéro égale zéro. La dernière équation n'est donc que la somme des autres, au signe près. Tu en gardes n moins un, ici une seule. Les mailles donnent le reste : b moins n plus un, ici deux. Ce comptage t'évite d'écrire une équation inutile, ou d'en oublier une et de rester bloqué.

Au nœud A, I1 et I2 arrivent et I3 repart : I3 égale I1 plus I2. Pour la maille de gauche, on part de la masse, on monte de neuf volts dans la source, on descend de R1 fois I1, puis de R3 fois I3, et on revient à la masse : neuf égale un fois I1 plus deux fois I3. Pour la maille de droite, même chemin avec la deuxième source : trois égale deux fois I2 plus deux fois I3. Remarque l'astuce des unités : en kilohms et en milliampères, le produit donne directement des volts. Tu évites ainsi les puissances de dix.

Remplace I3 par I1 plus I2 dans les deux équations de mailles. La première devient trois I1 plus deux I2 égale neuf. La seconde devient deux I1 plus quatre I2 égale trois. Multiplie la première par deux et retranche la seconde : quatre I1 égale quinze, donc I1 vaut 3,75 milliampères. En revenant à la première équation, deux I2 égale neuf moins 11,25, soit moins 2,25 : I2 vaut moins 1,125 milliampère. I3 vaut la somme, 2,625 milliampères. Le potentiel du nœud A vaut enfin R3 fois I3, soit 5,25 volts. Un tableur ou une calculatrice peut aussi résoudre ce système.

Regarde d'abord les potentiels. Le nœud A est à 5,25 volts, la borne plus de la source de trois volts est à trois volts : le courant descend donc de A vers cette source, et il y entre par sa borne plus. Le calcul le disait déjà avec I2 négatif : la flèche que tu avais posée pointe dans l'autre sens, rien de plus. Cette source reçoit de l'énergie au lieu d'en fournir. Tu rencontres ce cas dans une installation solaire, à Ouagadougou ou à Niamey, quand on branche en parallèle une batterie neuve et une batterie fatiguée : la plus chargée se vide dans l'autre, même quand aucun appareil n'est allumé. Le signe d'un courant raconte toujours quelque chose sur le circuit.

Dernière étape, la plus utile : faire les comptes, comme une commerçante qui vérifie le soir que la caisse correspond aux ventes notées. Ici, une seule source donne de l'énergie : la source de neuf volts fournit neuf fois 3,75, soit 33,75 milliwatts. Tout le reste en reçoit : environ 3,38 milliwatts pour la source de trois volts, 14,06 pour R1, 2,53 pour R2 et 13,78 pour R3. La somme donne 33,75 milliwatts : rien ne s'est perdu ni créé, le calcul tient debout. Si les deux totaux diffèrent, cherche une erreur de signe ou de calcul avant d'aller plus loin. Deux minutes de vérification valent mieux qu'un résultat faux rendu avec assurance.

Tu as suivi la méthode complète sur un circuit à deux mailles. Tu comptes les inconnues et les équations nécessaires. Tu écris la loi des nœuds puis les lois des mailles, en kilohms et en milliampères. Tu résous le système, à la main ou avec un tableur. Tu interprètes chaque signe. Et tu contrôles par le bilan de puissance. Cette méthode marche toujours, mais elle devient lourde quand le circuit grandit : six branches, six inconnues. Dans la prochaine leçon, tu vas voir une méthode plus économe, celle des potentiels aux nœuds, qui résout ce même circuit avec une seule équation.