Converger : la définition précise

Dire qu'une suite se rapproche d'un nombre ne suffit pas. La suite un plus un sur n se rapproche de zéro, au sens où ses termes diminuent, et pourtant sa limite est un. Il faut une définition qui ne laisse aucune place au doute. Cette définition, avec un epsilon et un rang N, fait peur à beaucoup d'étudiants. En réalité, elle traduit une idée de bon sens : à partir d'un certain moment, tous les termes restent aussi près qu'on veut de la limite. Dans cette leçon, tu vas la lire, la dessiner, puis t'en servir pour démontrer une limite pas à pas.

Regarde la suite n plus un sur n. Elle vaut deux, puis un virgule cinq, puis un virgule trois, trois, trois, et pour n égale cent, un virgule zéro un. Elle semble tendre vers un. Mais que veut dire tendre, exactement ? Fixe une marge, disons un centième. L'écart entre u n et un vaut un sur n, et il devient plus petit qu'un centième dès que n dépasse cent. Si tu exiges une marge d'un millième, il faut aller au-delà de mille. Quelle que soit la marge choisie, il existe un rang à partir duquel tous les termes restent dans cette marge. C'est exactement ce que dit la définition.

Voici la définition. La suite u n tend vers l si, pour tout epsilon strictement positif, il existe un entier N tel que, pour tout n supérieur ou égal à N, la valeur absolue de u n moins l soit strictement inférieure à epsilon. Lis-la comme un défi entre deux personnes. La première choisit une marge epsilon, aussi petite qu'elle veut. La seconde doit répondre par un rang N à partir duquel tous les termes, sans exception, restent dans la marge. Si la seconde gagne à tous les coups, la suite converge vers l. Sur un dessin, tous les termes après N restent dans une bande horizontale de hauteur deux epsilon autour de l.

Prends la suite deux n plus trois, sur n plus un. Ses premiers termes, deux virgule cinq, environ deux virgule trois trois, puis deux virgule deux cinq, font penser qu'elle se rapproche de deux. Calcule l'écart : u n moins deux vaut un sur n plus un, toujours positif. Joue d'abord une partie avec une marge chiffrée, epsilon égale un centième : il faut un sur n plus un inférieur à un centième, donc n plus un supérieur à cent, ce qui est vrai à partir du rang cent. Reprends le même raisonnement avec une marge epsilon quelconque : si n est supérieur ou égal à la partie entière de un sur epsilon, alors n plus un dépasse strictement un sur epsilon, et l'écart passe sous epsilon. Tu as répondu à tous les défis d'un coup : la suite tend vers deux. Un essai chiffré avant le cas général aide souvent à trouver le bon rang.

Deux résultats découlent directement de la définition. D'abord, une suite ne peut pas avoir deux limites différentes. Si elle tendait vers l et vers l prime, distincts, prends epsilon égal au tiers de leur écart : à partir d'un certain rang, chaque terme serait à la fois très près de l et très près de l prime, ce qui est impossible, car les deux bandes ne se touchent pas. Ensuite, toute suite convergente est bornée : après le rang N, les termes restent dans la bande, et avant N, il n'y en a qu'un nombre fini. Mais attention, une suite bornée ne converge pas forcément, comme tu vas le voir.

Une suite qui ne converge pas est dite divergente, et il y a deux façons de diverger. La suite moins un puissance n est bornée, mais ses termes de rang pair valent un et ceux de rang impair moins un. Or, si une suite converge, toutes ses suites extraites ont la même limite qu'elle. Ces deux suites extraites ont des limites différentes, donc la suite n'a pas de limite. Retiens pourtant le théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée, on peut extraire une suite qui converge. La suite n au carré, elle, dépasse tout nombre A à partir d'un certain rang : on dit qu'elle tend vers plus l'infini. Diverger n'est donc pas synonyme de tendre vers l'infini.

Retiens la définition mot pour mot, et surtout la méthode pour l'utiliser : tu fixes un epsilon quelconque, tu calcules l'écart entre u n et la limite, tu cherches une condition sur n qui rend cet écart plus petit que epsilon, et tu en tires un rang N explicite. Retiens aussi que la limite est unique et qu'une suite convergente est bornée, mais pas l'inverse. Démontrer chaque limite avec epsilon serait long. Dans la prochaine leçon, tu vas voir les théorèmes qui permettent de calculer la plupart des limites sans revenir à la définition.