La matrice inverse

Une rotation d'un quart de tour s'annule en tournant d'un quart de tour dans l'autre sens. Un agrandissement de rapport deux s'annule par une réduction de moitié. Mais certaines transformations ne s'annulent pas : si tu écrases tout le plan sur une droite, tu ne peux pas retrouver le point de départ. Dans cette leçon, tu vas voir quand une matrice carrée a une inverse, comment la calculer à la main pour une matrice deux par deux ou trois par trois, et comment l'économiste Wassily Leontief l'a utilisée pour calculer la production nécessaire de chaque secteur d'une économie.

Une matrice carrée A est inversible s'il existe une matrice, notée A moins un, telle que leur produit dans les deux sens donne l'identité. Quand elle existe, elle est unique. Son intérêt est immédiat : si A est inversible, le système A X égale B a une seule solution, X égale A moins un fois B. Il suffit de multiplier les deux côtés à gauche par l'inverse. Géométriquement, l'inverse annule la transformation : celle d'une rotation d'angle thêta est la rotation d'angle moins thêta. En revanche, la matrice un, un, un, un envoie tout le plan sur la droite y égale x : deux points différents ont la même image, rien ne permet de revenir en arrière.

Pour une matrice deux par deux de termes a, b, c, d, il existe une formule. On calcule le nombre a d moins b c. S'il vaut zéro, la matrice n'est pas inversible. Sinon, l'inverse s'obtient en échangeant a et d, en changeant le signe de b et de c, puis en divisant tout par a d moins b c. Prends deux, un, cinq, trois : a d moins b c égale six moins cinq, soit un. L'inverse est donc trois, moins un, moins cinq, deux. Vérifie en multipliant les deux matrices : tu dois trouver l'identité. Le nombre a d moins b c s'appelle le déterminant. Tu l'étudieras en détail au module 6.

Pour une matrice plus grande, on n'utilise pas de formule, mais la méthode du pivot. On écrit côte à côte la matrice A et la matrice identité de même taille. On applique ensuite aux lignes de ce grand tableau les opérations permises, jusqu'à transformer la partie gauche en identité. La partie droite est alors l'inverse de A. Pourquoi ça marche ? Chaque opération sur les lignes revient à multiplier à gauche par une matrice simple, et le produit de toutes ces matrices est justement l'inverse. Si, en cours de route, il manque un pivot, c'est que A n'est pas inversible. Tu le constates sans calcul supplémentaire.

Trois règles sont à connaître. L'inverse de l'inverse est la matrice de départ. L'inverse d'un produit est le produit des inverses dans l'ordre contraire : pour défaire mettre ses chaussettes puis ses chaussures, on enlève d'abord les chaussures. Et l'inverse de la transposée est la transposée de l'inverse. Un conseil pratique enfin : pour résoudre un système, ne calcule pas l'inverse puis un produit. La fonction solve fait directement le pivot, avec moins d'opérations et moins d'arrondis. On calcule l'inverse quand on a besoin de ses termes eux-mêmes, comme dans l'exemple qui suit.

En 1973, l'économiste Wassily Leontief a reçu le prix de sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel pour sa méthode des entrées et des sorties. L'idée est la suivante. Chaque secteur, par exemple l'agriculture ou l'industrie, utilise une partie de la production des autres secteurs pour produire. Les coefficients techniques, rangés dans une matrice A, disent combien il faut de chaque produit pour produire une unité. La production totale X doit couvrir ces consommations intermédiaires, A X, plus la demande finale D des ménages, des administrations publiques, de l'investissement et des exportations. On obtient X égale A X plus D, donc X égale l'inverse de I moins A, fois D.

Prends une économie d'exemple à deux secteurs, l'agriculture et l'industrie. Pour produire une unité, l'agriculture consomme zéro virgule deux unité agricole et zéro virgule quatre unité industrielle ; l'industrie consomme zéro virgule trois et zéro virgule un. Ce sont les colonnes de A. La demande finale vaut cent unités agricoles et cinquante industrielles. La matrice I moins A a pour déterminant zéro virgule six, et son inverse vaut environ un virgule cinq, zéro virgule cinq, puis zéro virgule six six sept et un virgule trois trois trois. La production nécessaire est donc cent soixante-quinze unités agricoles et environ cent trente-trois unités industrielles.

Retiens qu'une matrice carrée est inversible quand une autre matrice annule son effet, et qu'alors chaque système A X égale B a une seule solution. Pour une matrice deux par deux, le nombre a d moins b c décide de tout. Pour les autres, la méthode de Gauss-Jordan calcule l'inverse ou montre qu'elle n'existe pas. Dans le modèle de Leontief, chaque terme de l'inverse de I moins A a un sens : il dit combien un secteur doit produire quand la demande finale d'un autre secteur augmente d'une unité. Fais maintenant le lab sur les transformations d'une figure, puis la simulation sur une facture à Bruxelles et le quiz.