Discuter le nombre de solutions

Dans la leçon précédente, tout s'est bien passé : trois pivots, une seule solution. Ce n'est pas toujours le cas. Parfois, le pivot fait apparaître une ligne impossible, et parfois une ligne qui ne dit plus rien. Dans cette leçon, tu vas apprendre à lire la forme échelonnée pour savoir tout de suite dans quel cas tu es. Tu vas aussi apprendre à écrire une infinité de solutions avec un paramètre, ce qui est très utile en pratique, par exemple pour un réseau de distribution d'eau. Enfin, tu verras comment discuter un système dont un coefficient n'est pas encore connu.

Prends ce système. On retire la première ligne à la deuxième et deux fois la première à la troisième : on obtient y plus deux z égale huit, puis y plus deux z égale neuf. En retirant l'une de l'autre, il reste zéro égale un. Cette égalité est fausse, quelles que soient les valeurs de x, y et z. Le système n'a donc aucune solution : il est incompatible. En pratique, une telle ligne apparaît souvent quand les données se contredisent, par exemple quand des mesures de débit ne s'équilibrent pas parce qu'un compteur est faux ou qu'il y a une fuite. Le calcul te dit alors de retourner voir les données.

Remplace maintenant vingt et un par vingt dans la troisième équation. Le même calcul donne cette fois zéro égale zéro. Cette ligne est toujours vraie : elle n'apporte aucune information, car la troisième équation était la somme des deux premières. Il reste deux pivots, sur x et sur y, pour trois inconnues. L'inconnue sans pivot, ici z, est dite libre : tu peux lui donner n'importe quelle valeur, et les autres s'en déduisent. Le nombre de pivots s'appelle le rang du système. Ici, le rang vaut deux. Avec trois inconnues et un rang de deux, il reste une inconnue libre, donc une infinité de solutions.

Pour décrire une infinité de solutions, on donne un nom à l'inconnue libre. Pose z égale t, où t est un nombre quelconque, qu'on appelle paramètre. La deuxième ligne, y plus deux z égale huit, donne y égale huit moins deux t. La première donne ensuite x égale six moins y moins z, soit t moins deux. Toutes les solutions s'écrivent donc t moins deux, huit moins deux t, t. Pour t égale zéro, tu obtiens moins deux, huit, zéro. Pour t égale trois, tu obtiens un, deux, trois. Vérifie l'une d'elles dans les trois équations : c'est le meilleur moyen de contrôler ton écriture avec paramètre.

Voici une application. Un petit réseau de quatre nœuds alimente un quartier d'Abidjan, avec des chiffres d'exemple. L'eau entre en A à cent litres par seconde, et elle sort en B, C et D à quarante, trente-cinq et vingt-cinq litres par seconde. Quatre conduites relient A à B, A à D, B à C et D à C. En chaque nœud, ce qui entre égale ce qui sort. Tu obtiens quatre équations à quatre inconnues. Mais l'une d'elles découle des trois autres, puisque l'entrée totale égale la somme des sorties. Le pivot donne donc un rang de trois, et un débit reste libre.

Prends le débit de la conduite de D vers C comme paramètre t. Le nœud C donne x trois égale trente-cinq moins t, le nœud D donne x deux égale vingt-cinq plus t, et le nœud B donne x un égale soixante-quinze moins t. Les mathématiques admettent toutes les valeurs de t, mais pas la physique : si l'eau ne circule que dans un sens, chaque débit doit être positif, donc t est compris entre zéro et trente-cinq. Pour connaître le vrai débit, il faut une information de plus : un compteur sur une seule conduite, ou les lois de l'hydraulique, qui relient les débits aux pressions et aux caractéristiques des conduites. Le rang t'a dit exactement combien de mesures manquaient.

Parfois un coefficient dépend d'un réglage encore inconnu, noté a. Dans ce système, on retire deux fois la première ligne à la deuxième et on obtient a moins quatre, fois y, égale b moins six. Tout dépend du pivot a moins quatre. S'il n'est pas nul, c'est-à-dire si a est différent de quatre, il y a une seule solution. Si a vaut quatre, la ligne devient zéro égale b moins six. Elle est impossible si b est différent de six, et toujours vraie si b vaut six, avec alors une infinité de solutions. Discuter un système, c'est séparer ces cas sans en oublier, puis conclure pour chacun.

Retiens ces trois réflexes. Si la forme échelonnée contient une ligne zéro égale un nombre non nul, le système est incompatible. Sinon, compte les pivots : c'est le rang. Si le rang égale le nombre d'inconnues, la solution est unique. S'il est plus petit, la différence te donne le nombre d'inconnues libres, et tu écris les solutions avec autant de paramètres. Enfin, quand un coefficient dépend d'un paramètre, cherche les valeurs qui annulent un pivot et traite-les à part. Dans la prochaine leçon, tu vas écrire tout cela sous forme de matrices et confier les gros systèmes à Python.